1. (2024·盐城模拟)在某月的月历中圈出相邻的3个数,其和为41.这3个数的位置可能是(
A
)
答案：A 解析：设最小的数为 $ x $（$ x $ 为正整数），则其他 3 个数分别为 $ x + 1 $，$ x + 7 $，$ x + 8 $。A. $ x + x + 1 + x + 7 = 41 $，解得 $ x = 11 $，符合题意；B. $ x + x + 1 + x + 8 = 41 $，解得 $ x = \frac{32}{3} $，不符合题意；C. $ x + x + 7 + x + 8 = 41 $，解得 $ x = \frac{26}{3} $，不符合题意；D. $ x + 1 + x + 7 + x + 8 = 41 $，解得 $ x = \frac{25}{3} $，不符合题意. 故选 A.
2. 如图是某年某月的月历,用如图所示的“凹”字形框在月历中任意框出5个数,设“凹”字形框中的五个数分别为$a_{1},a_{2},a,a_{3},a_{4}$.
(1)若$a_{1}= 1$,则$a_{2}= $
8
,$a= $
9
;若$a= x$,则$a_{4}= $
$x - 6$
(用含x的式子表示).
(2)在移动“凹”字形框的过程中,小军说被框住的5个数之和可能为106,小轩说被框住的5个数之和可能为90,他们的说法对吗? 请说明理由.
小军的说法对，小轩的说法不对。理由：由题意可得五个数之和为$(a - 8) + (a - 1) + a + (a + 1) + (a - 6) = 5a - 14$。若和为106，则$5a - 14 = 106$，解得$a = 24$；若和为90，则$5a - 14 = 90$，解得$a = 20.8$，不符合题意，舍去。
(3)若另一个“凹”字形框框住的五个数分别为$b_{1},b_{2},b,b_{3},b_{4}$,且$b= 2a+1$,则符合条件的b的值为
21，23 或 29
.
答案：(1) 8 9 $ x - 6 $ 解析：由题意得，若 $ a_1 = 1 $，则 $ a_2 = 1 + 7 = 8 $，$ a = 1 + 8 = 9 $；若 $ a = x $，则 $ a_4 = x + 1 - 7 = x - 6 $.
(2) 小军：$ (a - 8) + (a - 1) + a + (a + 1) + (a - 6) = 106 $，解得 $ a = 24 $；小轩：$ (a - 8) + (a - 1) + a + (a + 1) + (a - 6) = 90 $，解得 $ a = 20.8 $（不符合题意，舍去）. 所以小军的说法对，小轩的说法不对.
(3) 21，23 或 29 解析：$ a $ 的值可以为 9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，所以 $ 2a + 1 $ 的值可以为 19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61. 因为 $ b $ 的值可以为 9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且 $ b = 2a + 1 $，所以 $ b $ 的值可以为 21，23 或 29.
3. 已知月历中同行的数从左向右依次递增1,同列的数从上向下依次递增7.
(1)图①是某月的月历,现要探究带阴影的“口”字框中的4个数(框中圈出的数没有空白)的数量关系,方框可以任意移动.小明是先假设左上角的数为m,他通过计算发现斜对角的两个数之和均为____,从而他得出结论:“口”字框中的4个数满足斜对角的两数之和____(填“相等”或“不相等”).
(2)小明又探究了图②中带阴影的“十”字框中的5个数(框中圈出的数没有空白)的数量关系,发现当“十”字框任意移动位置时,这5个数之和总是5的倍数,请你通过计算说明他的结论成立的理由.
(3)如图③,月历中有正方形和阶梯形两个阴影图形分别覆盖其中四个数(框中圈出的数没有空白,两个阴影图形可以上、下、左、右移动,可以重叠覆盖),设正方形覆盖的四个数之和为M,阶梯形覆盖的四个数之和为N.若$M+N= 130$,则$N-M$的值可能是(
C
)
答案：(1) $ 2m + 8 $ 相等 解析：设左上角的数为 $ m $，则右上角的数为 $ m + 1 $，左下角的数为 $ m + 7 $，右下角的数为 $ m + 8 $，所以 $ m + (m + 8) = 2m + 8 $，$ (m + 1) + (m + 7) = 2m + 8 $，故斜对角的两数之和均为 $ 2m + 8 $，所以“口”字框中的 4 个数满足斜对角的两数之和相等.
(2) 设“十”字框中的 5 个数中间的数是 $ a $，则另外 4 个数分别是 $ a - 7 $，$ a - 1 $，$ a + 1 $，$ a + 7 $，所以 $ (a - 7) + (a - 1) + a + (a + 1) + (a + 7) = 5a $，所以“十”字框任意移动位置时，这 5 个数之和总是 5 的倍数.
(3) C 解析：设正方形阴影图形中左上角的数为 $ x $，则右上角的数为 $ x + 1 $，左下角的数为 $ x + 7 $，右下角的数为 $ x + 8 $. 设阶梯形阴影图形中左上角的数为 $ y $，则右上角的数为 $ y + 1 $，左下角的数为 $ y + 6 $，右下角的数为 $ y + 7 $，所以 $ M = x + x + 1 + x + 7 + x + 8 = 4x + 16 $，$ N = y + y + 1 + y + 6 + y + 7 = 4y + 14 $，所以 $ M + N = 4x + 4y + 30 = 130 $，所以 $ x + y = 25 $，所以 $ y = 25 - x $，所以 $ N - M = 4y + 14 - 4x - 16 = 98 - 8x $，当 $ 98 - 8x = 60 $ 时，解得 $ x = \frac{19}{4} $，不符合题意；当 $ 98 - 8x = 64 $ 时，解得 $ x = \frac{17}{4} $，不符合题意；当 $ 98 - 8x = 66 $ 时，解得 $ x = 4 $，此时 $ y = 21 $，符合题意；当 $ 98 - 8x = 80 $ 时，解得 $ x = \frac{9}{4} $，不符合题意；故选 C.
