解：设 $ BD = x \, \mathrm{m} ，$则 $ DC = (21 - x) \, \mathrm{m} 。$
因为 $ AD ⊥ MN ，$所以 $ ∠ ADB = ∠ ADC = 90° 。$
在 $ \mathrm{Rt}△ ABD $ 中，由勾股定理得：$ AD^2 = AB^2 - BD^2 = 13^2 - x^2 。$
在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中，由勾股定理得：$ AD^2 = AC^2 - DC^2 = 20^2 - (21 - x)^2 。$
因此可得方程：
$13^2 - x^2 = 20^2 - (21 - x)^2$
展开计算：
$169 - x^2 = 400 - 441 + 42x - x^2$
消去两边的$ -x^2 ，$整理得：
$42x = 210$
解得 $ x = 5 。$
将$ x=5 $代入$ AD^2 = 13^2 - x^2 ，$得：
$AD^2 = 169 - 25 = 144$
因为长度为正，所以 $ AD = 12 \, \mathrm{m} 。$
答：主梁AD的高度为12 m。
