解：
(1) $\because$ 抛物线的对称轴是直线$x=3，$
$\therefore -\frac{\frac{3}{2}}{2a}=3，$解得$a=-\frac{1}{4}。$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4。$
(2) 当$y=0$时，$-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4=0，$解得$x_1=-2，$$x_2=8。$
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,0)，$点$B$的坐标为$(8,0)。$
(3) 存在。
当$x=0$时，$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4=4，$$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,4)。$
设直线$BC$对应的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)。$
将$B(8,0)，$$C(0,4)$代入$y=kx+b，$得
$\begin{cases}8k+b=0,\\b=4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=4.\end{cases}$
$\therefore$ 直线$BC$对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4。$
设点$P$的坐标为$(x,-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4)(0<x<8)。$
过点$P$作$PD// y$轴，交直线$BC$于点$D，$则点$D$的坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+4)。$
$\therefore PD=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4-(-\frac{1}{2}x+4)=-\frac{1}{4}x^2+2x。$
$\therefore S_{△ BPC}=\frac{1}{2}PD· OB=\frac{1}{2}×8(-\frac{1}{4}x^2+2x)=-x^2+8x=-(x-4)^2+16。$
$\therefore$ 当$x=4$时，$△ BPC$的面积最大，最大值是16，此时$P(4,6)。$
$\therefore$ 存在点$P(4,6)，$使$△ BPC$的面积最大，$△ BPC$的最大面积为16。
