解：
(1) 由题意，得二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}，$$\therefore b=1。$
又$\because$ 图象经过点$A(-2,5)，$$\therefore 4-2+c=5，$$\therefore c=3。$
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=x^2+x+3。$
(2) $\because$ 将点$B(1,7)$向上平移2个单位长度，向左平移$m(m>0)$个单位长度，
$\therefore$ 平移后的点的坐标为$(1-m,9)。$
又$\because$ 点$(1-m,9)$在函数$y=x^2+x+3$的图象上，
$\therefore 9=(1-m)^2+(1-m)+3，$
解得$m=4$或$m=-1$（舍去），$\therefore m=4。$
(3) $y=x^2+x+3=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}。$
$\therefore$ 当$x=-\frac{1}{2}$时，$y$有最小值，为$\frac{11}{4}。$
当$x=-2$或$1$时，$y=5。$
由题意，得当$-2≤ n<-\frac{1}{2}$时，最大值与最小值的差为$5-[(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}]=\frac{9}{4}，$
$\therefore n_1=n_2=-\frac{1}{2}，$不符合题意，舍去。
当$-\frac{1}{2}≤ n≤1$时，最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}，$符合题意。
当$n>1$时，最大值与最小值的差为$(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}，$
解得$n_3=1$或$n_4=-2，$都不符合题意，舍去。
综上所述，$n$的取值范围是$-\frac{1}{2}≤ n≤1。$
