解：$(1) $证明：因为关于$x$的方程$ax^2+\sqrt {2}cx+b=0$是$“$勾股方程$”$，
所以$a^2+b^2=c^2$且$c≠0$。
分类讨论如下：
$ ① $当$a≠0$时，判别式$∆=(\sqrt {2}c)^2-4ab=2c^2-4ab=2(a^2+b^2)-4ab=2(a-b)^2≥0$，
所以方程有两个实数根；
$ ② $当$a=0$时，方程变为$\sqrt {2}cx+b=0$，$c≠0$，
该方程是一元一次方程，必有实数根。
综上所述，关于$x$的$“$勾股方程$”ax^2+\sqrt {2}cx+b=0$必有实数根。
$ (2) $连接$OB$，$OC$，过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$EO$交$CD$于点$F$，
$ $则$∠ OEB=90°$，$OB=OC=1$。
$ $因为$DC// AB$，$AB=a$，$CD=b$，
所以$EF⊥ CD$，$AE=BE=\frac {1}{2}a$，$CF=DF=\frac {1}{2}b$。
$ $在$Rt△ BOE$中，由勾股定理得$BE^2+OE^2=OB^2$，
即$(\frac {1}{2}a)^2+OE^2=1^2$。
$ $因为方程$\frac {a}{2}x^2+\sqrt {2}x+\frac {b}{2}=0$是$“$勾股方程$”$，
所以$(\frac {1}{2}a)^2+(\frac {1}{2}b)^2=1^2$，
$ $因此$OE=\frac {1}{2}b=CF$。
$ $又$OB=CO$，
所以$Rt△ BOE≌Rt△ OCF$，可得$∠ EBO=∠ FOC$。
$ $因为$∠ EBO+∠ EOB=90°$，
所以$∠ FOC+∠ EOB=90°$，
$ $因此$∠ BOC=180°-(∠ FOC+∠ EOB)=90°$，
根据圆周角定理，$∠ A=\frac {1}{2}∠ BOC=45°$。
