证明：$(1) $因为$∠ COD = ∠ AOB = 90°$，
$ $所以$∠ AOC + ∠ AOD = ∠ BOD + ∠ AOD$，
$ $即$∠ AOC = ∠ BOD$。
$ $在$△ AOC$和$△ BOD$中，
$ \begin {cases}\ \mathrm {AO} = BO， \\∠ AOC = ∠ BOD， \\CO = DO， \end {cases}$
$ $所以$△ AOC ≌ △ BOD$，
$ $所以$AC = BD$。
$ (2) $以点$O$为圆心，$OC$为半径画弧，分别交
$OA$，$OB$于点$F$，$E$。
$ $因为$∠ COF = ∠ EOD$，
$ $所以$S_{扇形OCF} = S_{扇形OED}$。
$ $由$△ AOC ≌ △ BOD$，得$S_{△ AOC} = S_{△ BOD}$，
$ $所以$S_{△ AOC} - S_{扇形OCF} = S_{△ BOD} - S_{扇形OED}$，
$ $可得$S_{阴影} = S_{扇形OAB} - S_{扇形OEF}$。
$ $设$OA = r$，
则$S_{扇形OAB} = \frac {90π r^2}{360} = \frac {π r^2}{4}$。
$ $因为$OC = 3$，
所以$S_{扇形OEF} = \frac {90π × 3^2}{360} = \frac {9π}{4}$。
$ $又$S_{阴影} = \frac {7π}{4}$，
$ $所以$\frac {π r^2}{4} - \frac {9π}{4} = \frac {7π}{4}$，
$ $解得$r = 4($负值舍去$)$。
$ $故$OA$的长为$4$。
