解：以$CQ $为直径作$\odot O$，
当$\odot O$与边$AB$相切于点$P $时，$CQ_{最短}$，连接$OP$，
则$OP⊥ AB$，
所以$∠ OPA=90°$。
$ $因为$∠ A=30°$，
所以$∠ AOP=90°-∠ A=60°$。
$ $因为$OP=OQ$，
所以$△ OPQ $是等边三角形，
所以$QP=OQ$，$∠ OPQ=60°$，
$ $所以$∠ QPA=∠ OPA-∠ OPQ=30°$，
即$∠ QPA=∠ A$，
$ $所以$QA=QP$，因此$QA=OQ=OC$，
可得$CQ=\frac {2}{3}AC$。
$ $在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=2\sqrt {3}$，
$∠ A=30°$，
$ $所以$BC=\frac {1}{2}AB=\sqrt {3}$，
$ $由勾股定理得$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=3$，
$ $代入得$CQ=\frac {2}{3}×3=2$。
$ $故$CQ $长的最小值为$2$。
