解：$(1) $取$AD$的中点$E$，连接$OE$。
∵$OA⊥ OB$，
∴$∠ AOB=90°$，
∴$OE=AE=DE=\frac {1}{2}AD$。
∵$CD=\frac {1}{2}AD$，
∴$AE=CD$。
∵$OA=OC$，
∴$∠ OAE=∠ OCD$。
$ $在$△ OAE$和$△ OCD$中，
$ \begin {cases}\ \mathrm {OA}=OC \\∠ OAE=∠ OCD \\AE=CD \end {cases}$
∴$△ OAE≌△ OCD$，
∴$∠ AOE=∠ COD$，$OE=OD$，
∴$DE=OE=OD$，即$△ ODE$是等边三角形，
∴$∠ DOE=60°$，
∴$∠ COD=∠ AOE=∠ AOB-∠ DOE=30°$，
$ $即$∠ BOC=30°$。
$ (2) $过点$O$作$OF⊥ AC$于点$F$，
$ $则$∠ OFA=90°$，$AF=\frac {1}{2}AC$。
∵$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=30°$，
∴$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=120°$。
∵$OA=OC$，
∴$∠ OAC=∠ OCA=\frac {1}{2}(180°-∠ AOC)=30°$，
∴$OF=\frac {1}{2}OA$。
∵$OA=2$，
∴$OF=1$，
∴$AF=\sqrt {OA^2-OF^2}=\sqrt {3}$，
∴$AC=2AF=2\sqrt {3}$。
∵$CD=\frac {1}{2}AD$，
∴$CD=\frac {1}{3}AC=\frac {2\sqrt {3}}{3}$，
∴$S_{△ OCD}=\frac {1}{2}CD· OF=\frac {\sqrt {3}}{3}$。
∵$OB=OA=2$，
∴$S_{扇形OBC}=\frac {30π×2^2}{360}=\frac {π}{3}$，
∴线段$BD$、线段$CD$和$\overset {\frown }{BC}$围成的图形的面积
$S=S_{扇形OBC}-S_{△ OCD}$
$=\frac {π-\sqrt {3}}{3}$。
