解：连接$OD，OE$。
∵$DF $是$⊙O$的切线，
∴$OD⊥ DF$，
即$∠ ODF=90°$。
∵$∠ CDF=22.5°$，
∴$∠ ODB=180°-∠ ODF-∠ CDF=67.5°$。
∵$OB=OD$，
∴$∠ B=∠ ODB=67.5°$。
∵$AB=AC$，
∴$∠ C=∠ B=67.5°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=45°$。
∵$OA=OE$，
∴$∠ OEA=∠ BAC=45°$，
∴$∠ AOE=180°-∠ BAC-∠ OEA=90°$。
∵$⊙O$的半径为$4$，
∴$OA=OE=4$，
∴$S_{△ OAE}=\frac {1}{2}OA· OE=8$，
$S_{扇形OAE}=\frac {90π×4^2}{360}=4π$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形OAE}-S_{△ OAE}=4π-8$。
故阴影部分的面积为$4π-8$。
