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解：由反比例函数$y=(m-1)x^{|m-1|-2}$的图象经

过第一、三象限，可得

$\begin{cases} m-1＞0 \\ |m-1|-2=-1 \end{cases}$

解得$m=2。$

故该反比例函数的表达式为$y=\frac{1}{x}。$

解：$ (1) $点$B$的坐标为$(2，4)$，

点$C$的坐标为$(6，4)$，

点$D$的坐标为$(6，6)$。

$ (2) $猜想$A，C$两点恰好同时落在该反比例函数的

图象上。

$ $设矩形$ABCD$向下平移了$n(n＞0)$个单位长度。

$ $平移前$A，C$两点的坐标分别为$(2，6)$，$(6，4)$，

因此平移后$A，C$两点的坐标分别为$(2，6-n)$，

$(6，4-n)$。

由反比例函数性质可知两点横纵坐标乘积相等：

$ 2(6-n)=6(4-n)$

$ $解得$n=3$，即矩形$ABCD$向下平移的距离为$3$个

单位长度。

$ $代入得$k=2×(6-3)=6$，

因此该反比例函数的表达式为$y=\frac {6}{x}(x＞0)$。

C

$ C$

解：∵$∠ OAB=∠ B=90°$，

∴$AB⊥ x$轴，$∠ OAB+∠ B=180°$，

∴$OA// BF$。

又∵点$A$在$x$轴上，

∴$BF⊥ y$轴。

$ $延长$BF_{交}y$轴于点$C$，

则$∠ OCF=90°$，

∴四边形$OABC$是矩形，

∴$OA=BC$，$AB=OC$。

∵$\frac {BF}{OA}=\frac {3}{4}$，

∴设$BF=3a$，$OA=4a (a＞0)$，

∴$BC=4a$，$CF=BC-BF=a$，

∴点$E$的横坐标为$4a$，点$F $的横坐标为$a$。

∵$E，F $两点都在反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象上，

∴$E(4a，\frac {k}{4a})$，$F(a，\frac {k}{a})$，

∴$AE=\frac {k}{4a}$，$AB=OC=\frac {k}{a}$，

∴$BE=AB-AE=\frac {3k}{4a}$。

∵$S_{△ BEF}=9$，且$S_{△ BEF}=\frac {1}{2}· BE· BF$，

∴$\frac {1}{2}· \frac {3k}{4a}· 3a=9$，

$ $解得$k=8$。

$ $故该反比例函数的表达式为$y=\frac {8}{x}(x＞0)$。

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