解：$ (1) $因为$\sqrt {a+1}+(a+b+3)^2=0$，
所以$a+1=0$，$a+b+3=0$，
$ $解得$a=-1$，$b=-2$，
所以$A(-1，0)$，$B(0，-2)$。
$ $因为$E$为$AD$的中点，
所以可设$D(1，t)$。
$ $因为四边形$ABCD$为平行四边形，
所以$C(2，t-2)$。
$ $因为反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象经过$C，D$两点，
所以$k=2(t-2)=t$，
$ $解得$t=4$，$k=4$。
$ (2) $因为点$P $在反比例函数$y=\frac {4}{x}$的图象上，
点$Q $在$y$轴上，
所以可设$P(n，\frac {4}{n})$，$Q(0，m)$。
$ $已知$A(-1，0)$，$B(0，-2)$，
分三种情况讨论：
$ ① $当$AP $为该平行四边形的对角线时，
$ \begin {cases}-1+n=0\\\frac {4}{n}=m-2\end {cases}$，
解得$\begin {cases}m=6\\n =1\end {cases}$，
所以$P(1，4)$，$Q(0，6)$；
$ ② $当$AB$为该平行四边形的对角线时，
$ \begin {cases}-1=n\\-2=m+\frac {4}{n}\end {cases}$，
解得$\begin {cases}m=2\\n =-1\end {cases}$，
所以$P(-1，-4)$，$Q(0，2)$；
$ ③ $当$AQ $为该平行四边形的对角线时，
$ \begin {cases}-1=n\\m =\frac {4}{n}-2\end {cases}$，
解得$\begin {cases}m=-6\\n =-1\end {cases}$，
所以$P(-1，-4)$，$Q(0，-6)$。
综上所述，满足要求的所有点$P，Q $的坐标为
$P(1，4)，Q(0，6)$或$P(-1，-4)，Q(0，2)$
或$P(-1，-4)，Q(0，-6)$。
