解：$(1) $因为$k＞0$，
所以在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$ $因为点$A(a，y_1)$，$B(2a，y_2)$在第一象限内，且$a＜2a$，
所以$y_1＞y_2$。
$ (2) $因为点$A$，$B$在反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象上，
所以$S_{△ OAC}=S_{△ OBD}=\frac {1}{2}k$，
$ $所以$S_{梯形ACDB}=S_{△ OAB}+S_{△ OBD}-S_{△ OAC}=S_{△ OAB}=12$。
$ $由$A(a，\frac {k}{a})$，$B(2a，\frac {k}{2a})$，$AC⊥ x$轴，$BD⊥ x$轴，
得$OC=a$，$AC=\frac {k}{a}$，$OD=2a$，$BD=\frac {k}{2a}$，
$ $所以$CD=OD-OC=a$，
$ S_{梯形ACDB}=\frac {1}{2}(AC+BD)· CD=\frac {3}{4}k$，
$ $所以$\frac {3}{4}k=12$，解得$k=16$，
$ $即$A(a，\frac {16}{a})$，$B(2a，\frac {8}{a})$。
$ $因为点$A$，$B$在一次函数$y=-2x+b$的图象上，
所以$\begin {cases} \frac {16}{a}=-2a+b \\\frac {8}{a}=-4a+b \end {cases}$
$ $解得$\begin {cases}a=2\\b=12\end {cases}$或$\begin {cases}a=-2\\b=-12\end {cases}($不合题意，舍去）。
$ $故$a$的值为$2$。
$ (3) $因为$m=-2x+12$，$n=\frac {16}{x}(x＞0)$，
结合$k=16$，$b=12$，且$A(2，8)$，$B(4，4)$，
观察图象可知，使得$m＞n$的$x$的取值范围为$2＜x＜4$。
