解：$(2) $由题意得$∆=(2m-3)^2-4(\mathrm {m^2}-4m-5)=4m+29$。
$ $因为$m $为整数，且$4＜m＜15$，
所以$45＜4m+29＜89$。
$ $因为$4m+29$为完全平方数，
所以$4m+29=49$或$64$或$81$，
$ $解得$m=5$或$m=\frac {35}{4}($不合题意，舍去$)$或$m=13$。
$ $当$m=5$时，原方程为$x^2-7x=0$，
所以$Q(1，-7，0)=-\frac {49}{4}$；
$ $当$m=13$时，原方程为$x^2-23x+112=0$，
所以$Q(1，-23，112)=-\frac {81}{4}$。
综上，该方程的$“$关爱码$”$为$-\frac {49}{4}$或$-\frac {81}{4}$。
$ (3) $由题意得$Q(1，1-m，m+4)=\frac {-\mathrm {m^2}+6m+15}{4}$，
$ Q(1，n-1，-n)=-\frac {n^2+2n+1}{4}$。
$ $因为该方程是$x^2+(n-1)x-n=0$的$“$全整根伴侣方程$”$，
所以$Q(1，1-m，m+4)-Q(1，n-1，-n)=m+4$，
$ $即$\frac {-\mathrm {m^2}+6m+15}{4}+\frac {n^2+2n+1}{4}=m+4$，
$ $整理得$\mathrm {m^2}-n^2-2m-2n=0$，
$ $因式分解得$(m+n)(m-n)-2(m+n)=0$，
即$(m+n)(m-n-2)=0$。
$ $因为$m，n$均为正整数，
所以$m+n≠0$，
因此$m-n-2=0$，
即$m-n=2$。
