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第16页

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$5$

$-\frac{11}{3}$

解：由$b^2 - 3b + a + 1 = 0$，得

$ a = -b^2 + 3b -1 = -(b-\frac {3}{2})^2 + \frac {5}{4}$。

$ $因为$(b-\frac {3}{2})^2 ≥ 0$，

所以$-(b-\frac {3}{2})^2 ≤ 0$，

$ $因此$-(b-\frac {3}{2})^2 + \frac {5}{4} ≤ \frac {5}{4}$，

即$a ≤ \frac {5}{4}$。

$ $所以$a$的最大整数值为$1$。

$ C$

$\frac{3}{2}$

$17$

解：该代数式的值与$x$的取值无关。

$ $由已知$a=\frac {17}{19}x+2026$，$b=\frac {17}{19}x+2024$，

$c=\frac {17}{19}x+2025$，

$ $可得$a-b=2$，$a-c=1$，$c-b=1$。

对代数式变形：

$a^2 + b^2 + c^2 -ab -ac -bc$

$=\frac {(a-b)^2}{2}+\frac {(a-c)^2}{2}+\frac {(c-b)^2}{2} $

$=\frac {2^2}{2}+\frac {1^2}{2}+\frac {1^2}{2} $

$=3$

$ $故该代数式的值与$x$的取值无关，其值为$3$。

解：已知$M=2a^2-3a+\frac {1}{2}$，$N=a^2-a-\frac {1}{2}$，

$M-N = 2a^2-3a+\frac {1}{2} - (a^2-a-\frac {1}{2})$

$ = a^2-2a+1$

$ = (a-1)^2$

$ $因为对任意实数$a$，都有$(a-1)^2≥0$，

即$M-N≥0$，

$ $所以$M≥ N$。

解：该三角形是等边三角形，证明如下：

$ $已知$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$，

$ $两边同乘$2$得：

$2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc$，

移项整理得：

$ (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0$

$ $即$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0$。

因为平方数非负，

即$(a-b)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，

$ $所以只能$a-b=0$，$a-c=0$，$b-c=0$，

即$a=b=c$，

因此该三角形是等边三角形。

解：若方程$x^2 + 2(1+a)x + (3a^2+4ab+4b^2+2)=0$

有实数根，则判别式$∆≥0，$

即：

$ \begin{aligned} ∆&=[2(1+a)]^2 - 4×1×(3a^2+4ab+4b^2+2)\\ &=4(1+2a+a^2) - 12a^2 -16ab -16b^2 -8\\ &=-8a^2 +8a -16ab -16b^2 -4 ≥ 0 \end{aligned} $

两边除以$-4$整理得：$2a^2+4b^2-2a+4ab+1≤0，$

配方得：

$(a+2b)^2 + (a-1)^2 ≤ 0$

又因为$(a+2b)^2≥0，$$(a-1)^2≥0，$

所以$(a+2b)^2 + (a-1)^2≥0，$

因此只能$(a+2b)^2 + (a-1)^2=0，$即：

$ \begin{cases} a+2b=0\\ a-1=0 \end{cases} $

解得$\begin{cases}a=1\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}。$

故当$a=1，$$b=-\frac{1}{2}$时，原方程有实数根。

证明：先将原式展开整理：

$ \begin{aligned} &(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)\\ =&x^2+(a+b)x+ab + x^2+(b+c)x+bc + x^2+(c+a)x+ac\\ =&3x^2 + 2(a+b+c)x + ab+ac+bc \end{aligned} $

因为该式是完全平方式，

所以对应的二次方程$3x^2 + 2(a+b+c)x + ab+ac+bc=0$有两个相等的实数根，

即判别式$∆=0$：

$ \begin{aligned} ∆&=[2(a+b+c)]^2 - 4×3×(ab+ac+bc)\\ &=4(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) -12(ab+ac+bc)\\ &=4a^2+4b^2+4c^2 -4ab -4ac -4bc = 0 \end{aligned} $

两边除以4得：$a^2+b^2+c^2 -ab -ac -bc=0，$

$ $两边同乘$2$配方得：

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$

因为平方数非负，

即$(a-b)^2≥0，$$(b-c)^2≥0，$$(c-a)^2≥0，$

所以只能$a-b=0，$$b-c=0，$$c-a=0，$

即$a=b=c，$得证。