解：由题意得$m-1≠0$，即$m≠1$。
$ $这里$a=m-1$，$b=-2m$，$c=m+1$，
$ $所以$b^2-4ac=(-2m)^2-4(m-1)(m+1)=4$，
$ $所以$x=\frac {2m\pm \sqrt {4}}{2(m-1)}$，
$ $化简得$x_1=1+\frac {2}{m-1}$，$x_2=1$。
因为该方程的两个根都为正整数，且$m $为整数，
$ $所以$m-1$是$2$的正约数，
即$m-1=1$或$m-1=2$，
$ $解得$m=2$或$m=3$。
$ $故当$m $的值为$2$或$3$时，该方程的两个根都为正整数。
