第142页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

 解：

 (1) 连接OD.

 $\because OD=OA，$

 $\therefore ∠ ODA=∠ A=30°.$

 $\therefore ∠ DOB=∠ ODA+∠ A=60°.$

 $\therefore ∠ ODB=180°-∠ DOB-∠ B=180°-60°-30°=90°，$即$OD⊥ BD.$

 $\because OD$是$\odot O$的半径，

 $\therefore BD$是$\odot O$的切线.

 (2) $\because OD⊥ BD，$$∠ B=30°，$

 $\therefore OB=2OD.$

 $\because AB=3，$$OA=OD，$

 $\therefore AB=OA+OB=3OD=3.$

 $\therefore OD=1，$$OB=2.$

 $\therefore BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3}.$

 $\therefore$ 涂色部分的面积$S=S_{△ BDO}-S_{\mathrm{扇形}ODC}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}-\frac{60π×1^2}{360}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{6}π.$

 解：

 (1) $\because DF⊥ AB，$$GF$是$\odot O$的切线，

 $\therefore DF⊥ GF，$

 $\therefore AB// GF.$

 $\therefore ∠ BAC=∠ G=45°.$

 $\therefore ∠ FDG=90°-45°=45°，$即$△ DFG$是等腰直角三角形.

 $\therefore FD=FG.$

 (2) $\because DF⊥ AB，$

 $\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=6.$

 $\because ∠ BAC=45°，$

 $\therefore ∠ ADE=90°-45°=45°，$即$△ ADE$是等腰直角三角形.

 $\therefore EA=ED=6.$

由

 (1)得$FD=FG=10，$

 $\therefore EF=DF-DE=10-6=4.$

 连接$OA，$设$OE=x，$则$OF=OE+EF=x+4=OA.$

 在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$OA^2=AE^2+OE^2，$

 $\therefore (x+4)^2=6^2+x^2，$解得$x=\frac{5}{2}.$

 $\therefore OA=x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}，$即$\odot O$的半径为$\frac{13}{2}.$

 解：

 (1) $\odot M$与$x$轴相切，理由如下：

 连接$CM.$

 $\because AC$平分$∠ OAM，$

 $\therefore ∠ OAC=∠ CAM.$

 又$\because AM=MC，$

 $\therefore ∠ CAM=∠ ACM.$

 $\therefore ∠ OAC=∠ ACM.$

 $\therefore OA// MC.$

 $\because OA⊥ x$轴，

 $\therefore MC⊥ x$轴.

 $\because CM$是$\odot M$的半径，

 $\therefore \odot M$与$x$轴相切.

 (2) 过点$M$作$MN⊥ y$轴于点$N，$则$AN=BN=\frac{1}{2}AB.$

 $\because OA⊥ x$轴，$MC⊥ x$轴，$MN⊥ y$轴，

 $\therefore ∠ MCO=∠ AOC=∠ MNA=90°.$

 $\therefore$ 四边形$MNOC$是矩形.

 $\therefore MN=OC，$$MC=ON=5.$

 设$AO=m，$则$MN=OC=6-m，$$AN=5-m.$

 在$\mathrm{Rt}△ ANM$中，由勾股定理得$AM^2=AN^2+MN^2，$

 $\therefore 5^2=(5-m)^2+(6-m)^2，$

 解得$m_1=2，$$m_2=9$(不合题意，舍去).

 $\therefore AN=3.$

 $\therefore AB=6.$

 (3) 连接$AD$交$CM$于点$E.$

 $\because BD$是$\odot M$的直径，

 $\therefore ∠ BAD=90°.$

 $\therefore AD// x$轴，$AD⊥ MC.$

 易得四边形$OAEC$为矩形，$AE=DE.$

 $\therefore AE=OC.$

由

 (2)可得$MN=OC=4，$$OA=2.$

 $\therefore$ 点$C$的坐标为$(4,0)，$$AD=2AE=2OC=8.$

 $\therefore$ 点$D$的坐标为$(8,-2).$

 设直线$CD$对应的函数解析式为$y=kx+b.$

 $\therefore \begin{cases}4k+b=0,\\8k+b=-2,\end{cases}$

 解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$

 $\therefore$ 直线$CD$对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2.$

【分析】
（1）要证明BD是⊙O的切线，需连接半径OD，通过等腰三角形性质和三角形内角和，证明OD与BD垂直，结合切线判定定理完成证明；（2）求涂色部分面积，需用直角三角形BDO的面积减去扇形ODC的面积，先利用30°直角三角形性质和AB的长度求出半径OD，再分别计算三角形和扇形的面积，最后作差得到结果。
【解析】
（1）证明：连接OD。
∵ OD = OA（⊙O的半径相等），
∴ ∠ODA = ∠A = 30°，
∴ ∠DOB = ∠ODA + ∠A = 30° + 30° = 60°（三角形外角性质）。
在△ODB中，∠ODB = 180° - ∠DOB - ∠B = 180° - 60° - 30° = 90°，即OD⊥BD。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ BD是⊙O的切线（切线判定定理）。
（2）解：由（1）知OD⊥BD，在Rt△ODB中，∠B=30°，
∴ OB = 2OD（30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵ OA = OD，AB = OA + OB = 3，
∴ AB = OD + 2OD = 3OD = 3，解得OD=1，
则OB=2OD=2，由勾股定理得BD=√(OB² - OD²)=√(2² - 1²)=√3。
涂色部分面积 = S△BDO - S扇形ODC，
S△BDO = 1/2 × OD × BD = 1/2 ×1×√3 = √3/2，
扇形ODC的圆心角∠DOB=60°，半径OD=1，
S扇形ODC = (60°/360°)×π×1² = π/6，
因此涂色部分面积 = √3/2 - π/6。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{6}π$
【知识点】
切线的判定、扇形面积计算、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的切线判定与阴影面积计算，核心是添加辅助线OD，利用等腰三角形、直角三角形的性质推导角度和边长，需熟练掌握相关定理公式，属于初中几何常规中档题。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决本题，分两小问分析：
（1）需证明FD=FG，可通过推导△DFG为等腰直角三角形：利用切线性质得OF⊥GF，结合DF⊥AB推出AB//GF，得到∠G=∠BAC=45°；再由DF⊥AB、∠BAC=45°推出△ADE为等腰直角三角形，得∠FDG=45°，进而证得FD=FG。
（2）求⊙O半径，先利用垂径定理得AE=BE，结合等腰直角三角形性质算出DE，再由FD=FG得EF，连接OA后设OE为未知数，在Rt△AOE中用勾股定理列方程求解半径。
【解析】
（1）证明：
∵ GF是⊙O的切线，F为切点，
∴ OF⊥GF（切线的性质：切线垂直于过切点的半径），
又
∵ DF⊥AB，
∴ AB//GF（垂直于同一直线的两条直线平行），
∴ ∠G = ∠BAC = 45°（两直线平行，同位角相等），
∵ DF⊥AB，
∴ ∠AED=90°，
在△ADE中，∠DAE=45°，∠AED=90°，
∴ ∠ADE=90°-45°=45°，
又
∵ ∠ADE与∠FDG是对顶角，
∴ ∠FDG=∠ADE=45°，
∴ 在△DFG中，∠G=∠FDG=45°，
∴ FD=FG（等角对等边）。
（2）解：
∵ DF⊥AB，O是圆心，
∴ 根据垂径定理，AE=BE=½AB=½×12=6，
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∠AED=90°，
∴ △ADE是等腰直角三角形，
∴ DE=AE=6，
由（1）知FD=FG=10，
∴ EF=FD - DE=10 - 6=4，
连接OA，设OE=x，则OA=OF=OE + EF=x + 4（OF为半径，等于OA），
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
OA² = AE² + OE²，
即 (x + 4)² = 6² + x²，
展开得：x² + 8x + 16 = 36 + x²，
化简得：8x = 20，
解得x=5/2，
∴ OA = x + 4 = 5/2 + 4 = 13/2，
即⊙O的半径为$\frac{13}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\frac{13}{2}$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，需熟练运用切线性质、垂径定理，结合等腰直角三角形的判定与性质，通过勾股定理建立方程求解半径，解题关键是理清线段间的关系，合理推导几何结论。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决这道题，分三步梳理思路：
1. 第(1)问判断⊙M与x轴的位置关系：连接CM，利用角平分线性质和等腰三角形等边对等角，推导得OA//MC，结合OA垂直x轴，得到MC垂直x轴，依据切线定义判断相切；
2. 第(2)问求AB长：过M作MN⊥y轴，由垂径定理得AB被MN平分，再证四边形MNOC是矩形，得到边的等量关系，设AO=m，结合AO+CO=6表示OC，在Rt△ANM中用勾股定理列方程求解，进而算出AB；
3. 第(3)问求直线CD解析式：利用BD是直径得∠BAD=90°，推出AD//x轴，确定点C、D的坐标，再用待定系数法求出直线CD的函数解析式。
【解析】
(1) ⊙M与x轴相切，理由如下：
连接CM，
∵AC平分∠OAM，
∴∠OAC=∠CAM。
又
∵AM=MC（⊙M的半径），
∴∠CAM=∠ACM。
∴∠OAC=∠ACM，
∴OA//MC。
∵OA⊥x轴，
∴MC⊥x轴。
又
∵CM是⊙M的半径，
∴⊙M与x轴相切。
(2) 过点M作MN⊥y轴于点N，根据垂径定理，AN=BN=½AB。
∵OA⊥x轴，MC⊥x轴，MN⊥y轴，
∴∠MCO=∠AOC=∠MNA=90°，
∴四边形MNOC是矩形。
∴MN=OC，MC=ON=5（⊙M半径为5）。
设AO=m，则OC=6 - m（已知AO+CO=6），AN=ON - AO=5 - m。
在Rt△ANM中，由勾股定理得：AM²=AN² + MN²，即5²=(5 - m)² + (6 - m)²。
展开计算：25 = m² -10m +25 + m² -12m +36，整理得m² -11m +18=0，解得m₁=2，m₂=9（m=9时OC=-3，不符合实际，舍去）。
∴AO=2，AN=5 - 2=3，
∴AB=2AN=6。
(3) 连接AD交CM于点E，
∵BD是⊙M的直径，
∴∠BAD=90°，即AD⊥AB。
又
∵MC⊥x轴，OA⊥x轴，
∴MC⊥AB，
∴AD//x轴，
∴四边形OAEC是矩形，
∴AE=OC，且AE=DE（垂径定理），
∴AD=2AE=2OC。
由(2)知OC=6 - AO=4，
∴AD=8，可得点C坐标为(4,0)，点D坐标为(8,-2)。
设直线CD的解析式为y=kx + b，代入C(4,0)和D(8,-2)得：
$\begin{cases}4k + b=0 \\8k + b=-2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2} \\b=2 \end{cases}$。
∴直线CD对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x + 2$。
【答案】13. （1）⊙M与x轴相切；（2）AB=6；（3）直线CD对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+2$

【知识点】圆的切线判定、垂径定理、一次函数解析式
【点评】本题是圆与平面直角坐标系结合的综合题，综合考查圆的性质、坐标系中线段与坐标的转化，需熟练运用切线判定、勾股定理、待定系数法等知识，对学生的综合解题能力有一定要求，属于中等难度题。
【难度系数】0.6