第141页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

B

$64\sqrt{2}$

$100°$

70

$1-\frac{π}{4}$

$2\sqrt{7}+1$

【分析】
本题考查圆的切线性质、等腰三角形性质及三角形外角性质。解题思路：先利用切线性质，连接切点与圆心得到垂直关系，求出圆心角∠AOP的度数；再根据同圆半径相等，结合三角形外角性质，计算出∠B的度数。
【解析】
连接OA，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA（切线垂直于过切点的半径），即∠OAP=90°。
在Rt△OAP中，∠P=26°，
∴∠AOP=90°−∠P=90°−26°=64°。
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形，故∠B=∠OAB。
又
∵∠AOP是△OAB的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两内角和，
∴∠AOP=∠B+∠OAB=2∠B，
∴∠B=∠AOP÷2=64°÷2=32°。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题是圆的切线相关基础计算题，核心是利用切线性质构造直角三角形，结合等腰三角形和外角性质求解，属于常规基础题，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决本题，需先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个角平分线的交点，因此BI平分∠ABC，CI平分∠ACB；再结合三角形内角和定理，先在△IBC中求出∠IBC与∠ICB的和，进而得到△ABC中∠ABC与∠ACB的和，最后计算∠A的度数。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即∠IBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△IBC中，根据三角形内角和为180°，已知∠BIC=130°，
∴∠IBC + ∠ICB = 180° - ∠BIC = 180° - 130° = 50°。
∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠IBC + ∠ICB) = 2×50° = 100°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 100° = 80°。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内心性质与内角和定理的综合应用，核心是利用内心是角平分线交点的性质，将角的关系转化后结合内角和计算，属于基础题型，需掌握内心的定义及内角和公式。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决这个问题，需结合正五边形的性质、等腰三角形的内角特征以及三角形内角和定理逐步推导。首先计算正五边形的内角度数，再利用正五边形边长相等得到等腰三角形，求出相关角的度数，最后通过三角形内角和计算目标角∠APB的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ABC=∠BCD=108°$。
2. 推导等腰三角形的底角：
正五边形的边长相等，故$AB=BC=CD$，则$△ ABC$和$△ BCD$均为等腰三角形。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，所以底角$∠BAC=∠BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$；
在$△ BCD$中，$BC=CD$，所以底角$∠CBD=∠CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
3. 计算∠APB的度数：
在$△ APB$中，$∠PAB=∠BAC=36°$，$∠PBA=∠ABC - ∠CBD=108°-36°=72°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠APB=180°-∠PAB - ∠PBA=180°-36°-72°=72°$。
【答案】
B
【知识点】
正五边形性质，等腰三角形内角，三角形内角和定理
【点评】
本题将正多边形性质与三角形内角知识结合，核心是利用正五边形边长相等构造等腰三角形，进而推导角度，属于基础几何应用题型，需掌握正多边形内角计算和等腰三角形的角度规律。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需结合垂径定理、圆周角定理、切线的性质及等腰直角三角形的判定与性质逐步推导：
1. 由AD⊥BC，BC为直径，根据垂径定理得AE=ED，已知AE=2，故ED=2；
2. 由圆周角定理，∠ABC是弧AC所对的圆周角，得弧AC度数为2×22.5°=45°；结合AD⊥BC，BC为直径，得弧AC=弧CD，故弧CD度数为45°，对应圆心角∠COD=45°；
3. 直线l切⊙O于C，根据切线性质得OC⊥CF，即∠OCF=90°；
4. 在Rt△OED中，∠OED=90°，∠DOE=45°，ED=2，可求出半径OD=OC的长度，再结合Rt△OCF是等腰直角三角形，得CF=OC，从而算出CF的长。
【解析】
解：
∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，
∴根据垂径定理：AE=ED，
已知AE=2，
∴ED=2。
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，
∴弧AC的度数=2∠ABC=2×22.5°=45°，
又
∵AD⊥BC，BC为直径，
∴弧AC=弧CD，
∴弧CD的度数=45°，
∴对应的圆心角∠COD=45°。
∵直线l切⊙O于点C，
∴OC⊥CF（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
即∠OCF=90°。
在Rt△OED中，∠OED=90°，∠DOE=45°，ED=2，
∴OE=ED=2（等腰直角三角形两直角边相等），
由勾股定理得：OD=√(OE²+ED²)=√(2²+2²)=2√2，
∴OC=OD=2√2（OC、OD均为⊙O的半径）。
在Rt△OCF中，∠COF=45°，∠OCF=90°，
∴∠OFC=180°-90°-45°=45°，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC=2√2。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、切线的性质
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，需熟练运用垂径定理、圆周角定理、切线性质，结合等腰直角三角形的判定与性质求解，关键是求出圆心角∠COD的度数，进而推导得到等腰直角三角形OCF，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】
要使△AGH的周长最小，由于AG的长度是定值，因此只需AH+GH的值最小。点H在直线BE上，根据“最短路径问题”的解题思路，作点G关于直线BE的对称点G'，则GH=G'H，此时AH+GH=AH+G'H，当A、H、G'三点共线时，AH+GH取得最小值，即为线段AG'的长度。接下来利用正六边形的性质和勾股定理计算AG'的长度即可。
【解析】
1. 确定AH+GH的最小值：
要使△AGH周长最小，AG为定值，故需AH+GH最小。作点G关于直线BE的对称点G'，则GH=G'H，因此AH+GH=AH+G'H。当A、H、G'三点共线时，AH+GH最小，此时H为AG'与BE的交点，对应△AGH周长最小，AH+GH的最小值为AG'的长度。
2. 利用正六边形性质计算相关线段：
正六边形ABCDEF边长为2，故∠AFE=∠DEF=120°，AF=EF=DE=2。
在△AEF中，由余弦定理得：
AE² = AF² + EF² - 2·AF·EF·cos∠AFE = 2² + 2² - 2×2×2×cos120° = 4+4 - 8×(-1/2)=12，故AE=2√3。
由正六边形的对称性，点G（EF中点）关于BE的对称点G'为DE的中点，因此EG'=1/2 DE=1，且∠AEG'=90°。
3. 计算AG'的长度：
在Rt△AEG'中，由勾股定理得：
AG' = √(AE² + EG'²) = √[(2√3)² +1²] = √(12+1)=√13。
因此当△AGH周长最小时，AH+GH的值为√13。
【答案】
B

【知识点】
轴对称最短路径，正六边形性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查正六边形的性质与轴对称最短路径的应用，核心是利用对称转化线段，将求线段和的最小值转化为求两点间线段长度，体现了转化思想，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决这个问题，需先根据圆内接正方形的边长求出圆的半径，再利用同圆内接正八边形的面积公式计算面积。步骤如下：1. 利用正方形的性质，圆内接正方形的对角线等于圆的直径，由正方形边长求出直径，进而得到圆的半径；2. 结合同圆内接正八边形的面积公式，代入半径计算结果。
【解析】
1. 求圆的半径：
圆的内接正方形边长为8，根据正方形对角线与边长的关系，正方形的对角线长为 $ 8\sqrt{2} $，该对角线等于圆的直径，因此圆的直径为 $ 8\sqrt{2} $，半径 $ R = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} $。
2. 计算同圆内接正八边形的面积：
圆内接正八边形的面积公式推导：正n边形面积公式为 $ S = \frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2π}{n} $，当n=8时，$ S = \frac{1}{2} × 8 × R^2 × \sin\frac{π}{4} = 4R^2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}R^2 $。
将 $ R = 4\sqrt{2} $ 代入公式：
$ S = 2\sqrt{2} × (4\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{2} × 32 = 64\sqrt{2} $。
【答案】
64√2
【知识点】
圆内接正多边形、正方形的性质
【点评】
本题考查圆内接正多边形的几何计算，核心是利用圆内接正方形的边长求圆的半径，再结合正八边形的面积公式求解，需掌握正多边形与圆的关系及相关公式，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需运用圆的切线性质、等腰三角形性质及圆心角与圆周角的关系。首先，AC是⊙O的切线，AB为直径，根据切线性质可得AB⊥AC，即∠BAC=90°；在Rt△ABC中，结合已知∠C=40°，可求出∠ABC的度数；再由OB=OD（同圆半径相等），得△OBD为等腰三角形，进而得到∠ODB=∠ABC；最后利用三角形外角性质或圆心角与圆周角的倍数关系，计算出∠AOD的度数。
【解析】
∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥AC，即∠BAC=90°。
在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=40°，
根据三角形内角和为180°，得∠ABC=180°−∠BAC−∠C=180°−90°−40°=50°。
∵OB、OD都是⊙O的半径，
∴OB=OD，△OBD是等腰三角形，
∴∠ODB=∠ABC=50°。
根据三角形外角的性质，∠AOD是△OBD的外角，等于不相邻两个内角之和，
∴∠AOD=∠ABC + ∠ODB=50°+50°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
切线的性质，圆心角与圆周角的关系，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆章节的基础几何计算题，结合切线性质、三角形内角和、等腰三角形性质及圆心角与圆周角的关系，题型常规，主要考查学生对圆的基本性质的掌握与应用能力，属于初中数学的常见基础题。
【难度系数】
0.6

【分析】首先需利用正多边形内角和公式算出正三角形、正方形、正五边形的内角度数，再根据公共顶点处所有角的和为360°，求出∠1+∠2+∠3的总和，最后减去已知的∠3，即可得到∠1+∠2的值。
【解析】
1. 计算各正多边形的内角：
正三角形内角：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$
正方形内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
正五边形内角：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 公共顶点处所有角的和为360°，因此：
$∠1+∠2+∠3=360°-(60°+90°+108°)=102°$
3. 已知$∠3=32°$，则：
$∠1+∠2=102°-32°=70°$
【答案】70
【知识点】正多边形内角和、角度和计算
【点评】本题结合正多边形内角与角度和的性质，核心是利用公共顶点的周角为360°建立关系，属于基础角度计算题型。
【难度系数】0.5

【分析】
要计算阴影部分面积，需先利用正方形内接于圆的性质求出圆的半径，再结合切线的性质判断四边形OAPD的形状，最后通过“阴影面积=正方形OAPD面积 - 扇形OAD面积”的思路求解。具体步骤：①由正方形边长计算圆的半径；②根据切线垂直半径和正方形的内角特征，确定四边形OAPD为正方形；③分别计算正方形OAPD和扇形OAD的面积，两者作差得到阴影面积。
【解析】
1. 求⊙O的半径：正方形ABCD内接于⊙O，边长为$\sqrt{2}$，根据勾股定理，正方形的对角线长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = 2$，因此⊙O的直径为2，半径$OA=OD=1$。
2. 判断四边形OAPD的形状：因为PA、PD是⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以$OA⊥PA$，$OD⊥PD$，即$∠ OAP=∠ ODP=90°$。又正方形ABCD中，$∠ AOD=90°$，所以四边形OAPD中，$∠ OAP=∠ ODP=∠ AOD=90°$，故四边形OAPD是矩形；结合$OA=OD=1$，邻边相等，因此四边形OAPD是边长为1的正方形，其面积为$1×1=1$。
3. 计算扇形OAD的面积：扇形OAD的圆心角为$90°$，半径为1，根据扇形面积公式，其面积为$\frac{90°}{360°}×π×1^2=\frac{π}{4}$。
4. 求阴影部分面积：阴影部分面积等于正方形OAPD的面积减去扇形OAD的面积，即$1 - \frac{π}{4}$。
【答案】
$1-\dfrac{π}{4}$
【知识点】
圆的切线性质、正方形内接圆、扇形面积计算
【点评】
本题将正方形与圆的切线、扇形面积结合，核心是利用切线性质构造正方形，通过面积差求解阴影部分，考查学生对圆和正方形性质的综合应用能力，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决点A到⊙O上点的最大距离问题，根据圆的性质：点到圆上任意一点的最大距离等于该点到圆心的距离加上圆的半径，因此需找到⊙O在Rt△ABC内平移时，点A到圆心O的最大距离。结合Rt△ABC的边长，先计算各边长度和角度，再利用切线的性质（切线与过切点的半径垂直）及角平分线性质，确定⊙O与BC、AB相切时AO取得最大值，进而求出最大距离。
【解析】
1. 计算Rt△ABC的边长及角度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=2√3，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(6² + (2√3)²) = √48 = 4√3。
∵ tan∠BAC = BC/AC = (2√3)/6 = √3/3，
∴ ∠BAC=30°，∠ABC=60°。
2. 求AO的最大值：
当⊙O与BC、AB都相切时，设切点为E、F，连接OE、OF、OB，则OE⊥BC，OF⊥AB，OE=OF=1（半径）。
由切线长定理，OB平分∠ABC，故∠OBF=30°。在Rt△OBF中，OF=1，∠OBF=30°，得OB=2，BF=√(OB² - OF²)=√3。
∴ AF=AB - BF=4√3 - √3=3√3。在Rt△AOF中，OA=√(OF² + AF²)=√(1² + (3√3)²)=2√7。
3. 求最大距离：
点A到⊙O上点的最大距离为AO + 半径，即AD=AO + OD=2√7 +1。
【答案】
2√7 +1
【知识点】
切线的性质、勾股定理、点到圆的最大距离
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的结合，核心是利用“点到圆上点的最大距离为该点到圆心距离加半径”的性质，结合切线性质和角平分线定理确定圆心位置，通过勾股定理计算，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4