第139页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

B

A

D

A

$25°$或$155°$

$4π$

5

$2\sqrt{2}$

20

【分析】本题需结合圆的性质、平行线性质和直角三角形、等腰三角形的角度关系求解。首先由OC⊥AB且OD//AB，得OC⊥OD，再根据OC与半径OD的数量关系，在Rt△OCB中求出∠OBC，接着在等腰△OBD中求出∠OBD，最后将两个角相加得到∠ABD的度数。
【解析】设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，由OC=1/2 OD得OC=r/2。
因为OC⊥AB，OD//AB，所以OC⊥OD，即∠COD=90°。
在Rt△OCB中，OC=r/2，OB=r，根据“直角三角形中，直角边等于斜边的一半时，该边所对的角为30°”，可得∠OBC=30°，故∠ABO=30°。
又∠BOC=90°-∠OBC=60°，所以∠BOD=∠COD - ∠BOC=90°-60°=30°。
在△OBD中，OB=OD=r，为等腰三角形，所以∠OBD=(180°-∠BOD)/2=(180°-30°)/2=75°。
因此∠ABD=∠ABO + ∠OBD=30°+75°=105°，对应选项D。
【答案】D
【知识点】圆的基本性质、直角三角形性质、等腰三角形性质
【点评】本题综合运用几何知识求角度，关键是利用线段关系推导特殊角，需理清各角之间的关系，属于中等难度题。
【难度系数】0.5

【分析】
本题考查圆的相关概念与定理，需依据圆周角定理、垂径定理、等弧定义、中心对称图形的定义，逐个判断四个说法的正确性，统计不正确说法的数量，再匹配对应选项。
【解析】
逐个分析各说法：
1. 说法①：相等的圆周角所对的弧相等。错误，只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，题目未限定同圆或等圆，故①错误。
2. 说法②：平分弦的直径平分这条弦所对的两条弧。错误，垂径定理中，平分弦的直径需满足“弦不是直径”，两条直径互相平分，但不一定平分所对的弧，故②错误。
3. 说法③：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。正确，圆绕圆心旋转180°后能与自身重合，符合中心对称图形定义，故③正确。
4. 说法④：端点重合的两条弧是等弧。错误，等弧的定义是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，仅端点重合无法保证弧的长度和弯曲程度相同，故④错误。
综上，不正确的说法有①②④，共3个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆周角定理、垂径定理、等弧定义
【点评】本题为圆的基础概念题，易错点在于忽略定理的前提条件（如同圆或等圆、弦不能为直径），需准确记忆相关定理和定义的细节。
【难度系数】0.6

【分析】
要计算弦CD的长度，根据垂径定理，AB垂直CD时CD=2CE，只需先求出CE的长度。连接半径OC，利用等腰三角形性质和外角定理得到∠COB的度数，再结合含30°角的直角三角形的性质即可算出CE，进而得到CD的长。
【解析】
解：连接OC，
∵ OA=OC（⊙O的半径），
∴ ∠OCA=∠A=15°，
∴ ∠COB=∠A + ∠OCA=15°+15°=30°（三角形外角性质），
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴ 根据垂径定理，CE=ED，即CD=2CE，
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∠COE=30°，OC=2，
∴ CE=½ OC=½×2=1，
∴ CD=2CE=2×1=2。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，综合运用了垂径定理、等腰三角形性质和直角三角形的特殊性质，解题思路清晰，属于常规的圆性质应用题目。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需利用“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长”这一核心关系。首先根据正方形的性质确定扇形ADE的圆心角和半径，再计算扇形弧长，最后通过弧长与底面圆周长的等式求解底面半径。
步骤1：由正方形对角线平分直角，确定扇形的圆心角；步骤2：结合正方形边长得到扇形半径，用扇形弧长公式计算弧长；步骤3：根据圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的关系，求出底面圆半径。
【解析】
1. 确定扇形ADE的参数：
正方形ABCD边长为4，因此扇形ADE的半径 $ R = AD = 4 $；
AC是正方形的对角线，$ ∠ DAC = 45° $，即扇形的圆心角 $ n = 45° $。
2. 计算扇形ADE的弧长：
根据扇形弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $，代入 $ n=45° $、$ R=4 $，得：
$ l = \frac{45 × π × 4}{180} = π $。
3. 求圆锥底面圆半径：
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设底面圆半径为 $ r $，则底面周长为 $ 2π r $，因此：
$ 2π r = π $，解得 $ r = \frac{1}{2} $。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图、扇形弧长计算、正方形性质
【点评】
本题结合正方形与圆锥的性质，考查扇形弧长公式和圆锥底面周长的应用，属于基础几何综合题，需掌握公式的灵活运用。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算涂色部分的面积，首先连接辅助线OD，利用已知条件求出相关线段长度和角度，再结合旋转的性质，将不规则的涂色部分面积转化为规则图形（扇形、直角三角形）的面积差，逐步计算即可。
【解析】
连接OD。
1. 由题意得，OA=2，C为OA中点，故OC=AC=1；又∠AOB=90°，CD//OB，因此∠OCD=180°-∠AOB=90°，即△OCD是直角三角形。
2. 因为OD是扇形半径，所以OD=OA=2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD=√(OD² - OC²)=√(2² -1²)=√3；又OC=1，OD=2，所以∠ODC=30°，进而∠AOD=60°。
3. 根据旋转的性质，旋转后CE=AC=1，旋转角为90°，故∠OCE=90°，即△COE是直角三角形，其面积为S△COE=1/2×OC×CE=1/2×1×1=1/2；△COD的面积为S△COD=1/2×OC×CD=1/2×1×√3=√3/2。
4. 扇形OAD的圆心角为60°，半径为2，其面积为S扇形OAD=(60π×2²)/360=2π/3。
5. 因此，涂色部分的面积=S扇形OAD - S△COD - S△COE=2π/3 - √3/2 -1/2。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算、旋转的性质、直角三角形性质
【点评】
本题通过辅助线将不规则图形面积转化为规则图形的面积差，关键是利用直角三角形性质求角度和边长，结合旋转性质确定线段关系，考查几何面积的转化思想与计算能力。
【难度系数】
0.5

【分析】
解决本题需注意：弦所对的圆周角有两种情况，分别在弦对应的优弧和劣弧上。先利用圆周角定理计算优弧上的圆周角，再结合圆内接四边形的性质计算劣弧上的圆周角，需分类讨论避免漏解。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。已知弦AB对应的圆心角∠AOB=50°，则弦AB所对优弧上的圆周角为：$\frac{1}{2}×50°=25°$；
2. 弦AB所对劣弧上的圆周角，与上述25°的圆周角是圆内接四边形的一组对角，根据圆内接四边形对角互补，可得劣弧上的圆周角为：$180°-25°=155°$；
因此，弦AB所对的圆周角的度数为25°或155°。
【答案】
25°或155°
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆章节的基础题，核心考查圆周角定理的应用，易错点是忽略弦所对圆周角的两种情况，需牢记分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5

【分析】要计算圆锥的表面积，需明确圆锥表面积由侧面积和底面积两部分组成，分别计算两部分面积后求和即可。需回忆圆锥侧面积公式与圆的面积公式，代入题目给定的母线长、底面半径数值计算。
【解析】圆锥的表面积 = 侧面积 + 底面积。
1. 计算侧面积：圆锥侧面积公式为$ S_{侧} = π r l $（$ r $为底面半径，$ l $为母线长），代入$ r=1\ \mathrm{cm} $，$ l=3\ \mathrm{cm} $，得$ S_{侧} = π × 1 × 3 = 3π\ \mathrm{cm}^2 $；
2. 计算底面积：圆的面积公式为$ S_{底} = π r^2 $，代入$ r=1\ \mathrm{cm} $，得$ S_{底} = π × 1^2 = π\ \mathrm{cm}^2 $；
3. 总表面积：$ S = S_{侧} + S_{底} = 3π + π = 4π\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】$ 4π $
【知识点】圆锥表面积计算，侧面积公式应用，圆的面积公式
【点评】本题是圆锥表面积计算的基础题，核心考查圆锥表面积的组成及对应公式的应用，计算步骤简单，侧重对基础公式的掌握，适合巩固圆锥相关的基础知识点。
【难度系数】0.8

【分析】
要解决这个问题，我们可以结合垂径定理和勾股定理来推导：首先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可求出弦AB的一半长度；再设圆的半径为未知数，用半径表示出直角三角形的两条直角边，最后通过勾股定理列方程求解半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA = OD = r$。
因为$OD ⊥ AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
又已知$CD = 2$，因此$OC = OD - CD = r - 2$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2 = AC^2 + OC^2$，代入各线段长度得：
$r^2 = 4^2 + (r - 2)^2$
展开并化简方程：
$r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4$
$0 = 20 - 4r$
解得$r = 5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，关键在于利用垂径定理得到弦的一半长度，再通过勾股定理建立方程求解，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，需先利用垂直平分线的性质求出圆心角∠BOC的度数，再计算弧BC的长度（即圆锥侧面的底面周长），接着通过弧长公式求出圆锥底面半径，最后结合圆锥母线长，用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
1. 求圆心角：因为BC是OA的垂直平分线，OA=3，所以OD=OA/2=1.5，又OB=OA=3，在Rt△ODB中，$\cos∠ BOD=\frac{OD}{OB}=\frac{1.5}{3}=\frac{1}{2}$，故∠BOD=60°，同理∠COD=60°，因此∠BOC=∠BOD+∠COD=120°。
2. 计算弧BC的长度：根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（n为圆心角度数，R为圆半径），代入n=120，R=3，得弧BC的长$ l=\frac{120π×3}{180}=2π $。
3. 求圆锥底面半径：设圆锥底面半径为r，圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，即$ 2π r=2π $，解得r=1。
4. 计算圆锥的高：圆锥的母线长等于OB=3，根据勾股定理，圆锥的高$ h=\sqrt{母线^2 - r^2}=\sqrt{3^2 -1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $。
【答案】
$ 2\sqrt{2} $
【知识点】
弧长公式，圆锥的高，勾股定理
【点评】
本题将圆的性质与圆锥的计算相结合，需熟练掌握垂直平分线性质、弧长公式及圆锥的相关计算，步骤清晰，注重知识的综合应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
要计算BC的长度，需通过添加辅助线转化已知条件：延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E。利用∠A=∠B=60°可判定△ADB为等边三角形，求出AD的长度；再结合OA的长度得到OD，在Rt△ODE中利用30°角的直角三角形性质求出DE，进而算出BE；最后根据垂径定理BE=CE，即可求出BC的长。
【解析】
解：如图，延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BC于点E。
根据垂径定理，OE⊥BC，故BE=CE。
∵∠A=∠B=60°，
∴在△ADB中，∠ADB=180°−∠A−∠B=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AD=AB=12。
又
∵OA=8，
∴OD=AD−OA=12−8=4。
在Rt△ODE中，∠ODE=∠ADB=60°，
∴∠DOE=90°−60°=30°，
根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，得DE=½OD=½×4=2。
∴BE=BD−DE=12−2=10，
∵BE=CE，
∴BC=BE+CE=2BE=2×10=20。
【答案】
20

【知识点】
等边三角形的判定与性质；垂径定理；直角三角形的性质
【点评】
本题通过添加辅助线将问题转化为等边三角形和直角三角形的相关计算，关键在于利用角度关系判定等边三角形，结合垂径定理和直角三角形的30°角性质求解，是一道综合运用几何定理的中等难度题目。
【难度系数】
0.5