第137页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

D

C

D

$(2,-2)$

2

$45°$

【分析】首先明确中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形。接下来逐一分析四个图形：①赵爽弦图，绕其中心旋转180°后，能与原图形完全重合，符合中心对称图形的定义；②鲁诺克斯三角形，旋转180°后无法与原图形重合；③笛卡儿心形线，旋转180°后不能与原图形重合；④阿基米德螺线，旋转180°后也无法与原图形重合。因此只有①是中心对称图形。
【解析】根据中心对称图形的定义，对各图形逐一判断：
1. 赵爽弦图（①）：绕中心旋转180°后，与原图形重合，是中心对称图形；
2. 鲁诺克斯三角形（②）：旋转180°后，图形与原图形不重合，不是中心对称图形；
3. 笛卡儿心形线（③）：旋转180°后，图形与原图形不重合，不是中心对称图形；
4. 阿基米德螺线（④）：旋转180°后，图形与原图形不重合，不是中心对称图形。
综上，是中心对称图形的为①，对应选项A。
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【点评】本题考查中心对称图形的基本概念，解题关键是准确把握“旋转180°后与原图形重合”这一核心条件，属于基础概念类题目，难度不大。
【难度系数】0.5

【分析】要解决本题，需利用旋转的性质得到对应角相等，再结合邻补角关系和四边形内角和定理推导∠BED的度数。首先，△ABC绕点A旋转得到△ADE，根据旋转性质可知对应角相等，进而得到∠BAD=α；再由点E在CB延长线上，得到∠ABC与∠ADE的和为180°；最后利用四边形ABED的内角和为360°，即可求出∠BED。
【解析】根据旋转的性质，△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE，因此：
1. ∠BAC = ∠DAE，∠ABC = ∠ADE；
2. 由∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE，可得∠BAD = ∠CAE = α；
因为点E在CB的延长线上，所以∠ABC + ∠ABE = 180°，结合∠ABC = ∠ADE，得∠ADE + ∠ABE = 180°；
在四边形ABED中，内角和为360°，即∠BAD + ∠ABE + ∠BED + ∠ADE = 360°；
将∠BAD=α，∠ADE+∠ABE=180°代入上式，得：α + 180° + ∠BED = 360°，解得∠BED = 180° - α。
【答案】D
【知识点】旋转的性质，四边形内角和
【点评】本题考查旋转性质与四边形内角和的综合应用，核心是通过旋转转化角的关系，结合邻补角和四边形内角和公式求解，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5

【分析】
要推导α与β的数量关系，需结合菱形的性质（对角线平分内角、对边平行）和旋转的性质（旋转角相等、对应角相等），利用角平分线的条件逐步推导角度间的等量关系，最终建立α与β的等式。
【解析】
1. 在菱形ABCD中，AC平分∠BAD，且AD//BC，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠BAD + ∠B = 180°。
2. 菱形ABCD绕点A逆时针旋转α得到菱形AB'C'D'，由旋转的性质可知，旋转角∠BAB' = ∠CAC' = α，且对应角∠B'AC' = ∠BAC。
3. 已知AC平分∠B'AC'，故∠B'AC = ∠C'AC；又AC平分∠BAD，所以∠BAC = ∠DAC。结合旋转角相等，可推得∠BAB' = ∠DAC' = ∠B'AC = ∠CAC' = α。
4. 因为∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 2∠BAC，而∠BAC = ∠BAB' + ∠B'AC = α + α = 2α，所以∠BAD = 4α。代入∠BAD + ∠B = 180°，得4α + β = 180°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、旋转的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查菱形与旋转的性质，核心是理清旋转后各角度的等量关系，结合角平分线条件推导结论，需熟练掌握相关几何性质，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题需结合等腰三角形性质、旋转的性质和直角三角形的性质解题。首先，由等腰△ABC中AB=AC，AD⊥BC，可知AD是BC的中垂线，得到DC与BC的关系；再利用旋转的性质，得CE=CB，进而推出Rt△EDC中∠ECD的度数；结合已知∠ACE=10°，求出∠ACB，再计算∠AEC，最后根据旋转对应角相等，求出∠AEF。
【解析】
1. 因为AB=AC，AD⊥BC，所以AD是等腰△ABC底边BC的中垂线，故DC=½BC，且∠ADC=90°，∠ACB=∠ABC。
2. 由旋转的性质，△ABC绕点C旋转得到△FEC，因此CE=CB，可得DC=½CE。
3. 在Rt△EDC中，∠EDC=90°，DC=½CE，根据直角三角形的性质，直角边为斜边一半时，该直角边对的角为30°，故∠DEC=30°，则∠ECD=60°。
4. 已知∠ACE=10°，所以∠ACB=∠ACE + ∠ECD=10°+60°=70°，因此∠ABC=∠ACB=70°。
5. 在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠ACB=90°-70°=20°，在△AEC中，∠AEC=180°-∠CAD-∠ACE=180°-20°-10°=150°。
6. 由旋转性质，∠FEC=∠ABC=70°，所以∠AEF=∠AEC - ∠FEC=150°-70°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
等腰三角形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查多个几何性质的应用，关键是利用旋转得到对应边相等，结合直角三角形的特殊角关系求出核心角度，理清各角间的和差关系是解题重点。
【难度系数】
0.5

【分析】要解决本题，需利用旋转的性质，结合坐标法将几何问题转化为代数表达式的最值问题。首先，线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，故AD=AE且∠DAE=60°；通过建立平面直角坐标系确定等边三角形各顶点坐标，写出动点D的坐标及旋转后点E的坐标，进而将AE+BE转化为关于动点D的表达式，结合动点范围求最小值。
【解析】设等边三角形ABC边长为a，建立平面直角坐标系：令A(0, √3 a/2)，B(-a/2, 0)，C(a/2, 0)，则AC中点F坐标为(a/4, √3 a/4)，BF所在直线方程为y=(√3/3)x + √3 a/6。设动点D在BF上，坐标为(x, (√3/3)x + √3 a/6)，将AD绕A逆时针旋转60°，根据旋转坐标变换得E点坐标为(a/2, √3(a+2x)/3)。计算AE+BE：AE=AD，BE为点B到E的距离，代入坐标化简得AE+BE的表达式，结合x的取值范围（-a/2 ≤x ≤a/4），当x=0时，AE+BE取得最小值√3 a。
【答案】D
【知识点】旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题
【点评】本题通过旋转性质转化线段关系，利用坐标法求解线段和的最小值，考查学生对几何变换和最值问题的综合应用能力，需理清动点轨迹与线段和的转化逻辑。
【难度系数】0.5

【分析】首先要确定点A的坐标，再利用平面直角坐标系中点绕原点旋转的坐标变换规律计算对应点坐标。步骤：1. 观察网格，确定点A的横、纵坐标；2. 明确点顺时针旋转90°的坐标变换规则；3. 代入点A的坐标计算结果。
【解析】由网格图可知，点A的坐标为(2,2)。在平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后，对应点的坐标为$(y,-x)$。将$A(2,2)$代入规则，可得对应点坐标为$(2,-2)$。
【答案】$(2,-2)$
【知识点】平面直角坐标系、点的旋转变换
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的旋转变换，核心是掌握旋转的坐标变换规律，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决本题，需利用旋转的性质和矩形的特征，通过构造全等三角形转化线段，再结合勾股定理建立方程求解。首先，PA绕点P顺时针旋转90°得到PA'，故PA=PA'且∠APA'=90°；矩形ABCD中∠B为直角，过A'作BC的垂线，可证△ABP与△PEA'全等，进而得到对应边的关系，最后利用勾股定理列方程计算BP的长度。
【解析】
设BP=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=9，∠B=90°，
过点A'作A'E⊥BC于点E，则∠PEA'=90°，
由旋转性质知：PA=PA'，∠APA'=90°，
∴∠APB + ∠A'PE=90°，又∠A'PE + ∠PA'E=90°，
故∠APB=∠PA'E，
在△ABP和△PEA'中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠PEA'=90° \\∠APB=∠PA'E \\PA=PA'\end{array} $
∴△ABP≌△PEA'（AAS），
∴AB=PE=5，BP=A'E=x，
则BE=BP + PE=x +5，
∵BC=9，
∴EC=BC - BE=9 - (x +5)=4 -x，
在Rt△A'EC中，由勾股定理得：
A'E² + EC² = CA'²，
代入已知CA'=2√2，得：
$x^2 + (4 - x)^2 = (2\sqrt{2})^2$，
展开整理：$2x^2 -8x +8=0$，即$(x-2)^2=0$，
解得x=2，故BP=2。
【答案】
2
【知识点】
矩形性质、旋转性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、旋转的性质，全等三角形的判定与勾股定理的应用，关键是通过构造全等三角形转化线段，利用方程思想求解，体现了几何问题中转化与数形结合的思想。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用旋转的几何变换，将分散的线段集中，结合勾股定理及其逆定理计算角度。具体思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，这样能把CP转化为AP'，BP转化为BP'，先判断△PBP'是等腰直角三角形，再通过线段长度关系用勾股定理逆定理判断△APP'是直角三角形，最后推导∠APB的度数。
【解析】
将△BPC绕点B按逆时针方向旋转90°得到△BP'A，连接PP'。
根据旋转的性质，得：AP' = CP = √11，BP' = BP = 1，∠PBP' = 90°。
在Rt△PBP'中，BP = BP' = 1，∠PBP' = 90°，故△PBP'是等腰直角三角形，因此∠BPP' = 45°，由勾股定理得：PP' = √(BP² + BP'²) = √(1² + 1²) = √2。
已知PA = 3，计算得：AP² + PP'² = 3² + (√2)² = 11，又P'A² = (√11)² = 11，所以AP² + PP'² = P'A²。
根据勾股定理的逆定理，△APP'是直角三角形，且∠APP' = 90°。
因此，∠APB = ∠APP' - ∠BPP' = 90° - 45° = 45°。
【答案】45°

【知识点】旋转的性质、勾股定理、勾股定理逆定理
【点评】本题通过旋转将分散的线段转化，利用等腰直角三角形和直角三角形的性质求解，考查了几何变换的应用及勾股定理相关知识，需要掌握旋转的性质和勾股定理逆定理的判断方法。
【难度系数】0.5