第124页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

C

9

10

4

 解：设正六边形ABCDEF的边长为$x。$

 $\because$ 正六边形ABCDEF的面积是$24\sqrt{3}，$

 $\therefore 6×\frac{\sqrt{3}}{4}x^2=24\sqrt{3}，$解得$x=4$（负值舍去）。

 连接AC。

 $\because$ 在正六边形ABCDEF中，$AB=BC=CD=4，$$∠ B=∠ BCD=∠ BAF=120°，$

 $\therefore ∠ ACB=∠ BAC=30°。$

 $\therefore ∠ ACD=90°。$

 $\because$ 易知$∠ BAD=∠ FAD=60°，$

 $\therefore ∠ CAD=30°。$

 $\therefore AD=2CD=2×4=8。$

D

C

【分析】要解决本题，需明确圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角（即中心角）的计算方法：对于正$n$边形，其中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。接下来分别计算各选项对应正多边形的中心角，再比较大小即可得出答案。
【解析】圆的内接正$n$边形，一条边所对的圆心角（中心角）公式为：$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$。
选项A：正三角形，边数$n=3$，中心角$=\frac{360°}{3}=120°$；
选项B：正方形，边数$n=4$，中心角$=\frac{360°}{4}=90°$；
选项C：正五边形，边数$n=5$，中心角$=\frac{360°}{5}=72°$；
选项D：正六边形，边数$n=6$，中心角$=\frac{360°}{6}=60°$；
比较得：$120°＞90°＞72°＞60°$，因此一条边所对的圆心角最大的是正三角形。
【答案】A
【知识点】正多边形与圆、圆心角计算
【点评】本题考查圆内接正多边形的中心角计算，属于基础知识点应用，只要掌握中心角公式即可快速解题，难度较低。
【难度系数】0.8

【分析】要计算正六边形的边心距，需利用正六边形的性质：正六边形可分解为6个等边三角形，其外接圆半径等于边长，边心距是等边三角形的高。解题时构造直角三角形，用勾股定理计算高即可。
【解析】正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此中心与相邻两顶点构成等边三角形，边长等于外接圆半径4 cm。边心距是该等边三角形的高，设边心距为$d$，由勾股定理得：$d=\sqrt{4^2 - (\frac{4}{2})^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，故选C。
【答案】C
【知识点】正多边形与圆、勾股定理
【点评】本题考查正多边形边心距的计算，核心是利用正六边形性质转化为等边三角形的高，属于基础题型，需掌握正多边形的相关性质。
【难度系数】0.7

【分析】
要解决这个问题，需利用正多边形中心角的性质：正多边形的所有中心角之和为周角$360°$，且每个中心角的度数相等，因此正多边形的边数等于$360°$除以单个中心角的度数。
【解析】
根据正多边形中心角的性质，设该正多边形的边数为$n$，则有：
$n = \frac{360°}{\mathrm{中心角的度数}}$
将中心角$40°$代入公式：
$n = \frac{360°}{40°} = 9$
【答案】
9
【知识点】
正多边形的中心角
【点评】
本题考查正多边形中心角的基本性质，属于基础题型，只要牢记边数与中心角的关系即可快速求解，是正多边形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决本题，需结合圆周角定理和正多边形中心角的性质。首先，∠ACB是圆周角，它所对的弧为AB，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出弧AB对应的圆心角；再利用正n边形的中心角等于$\frac{360°}{n}$，建立等式即可求出n的值。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。已知∠ACB=18°，弧AB所对的圆心角为∠AOB，因此∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°。
2. 因为AB是⊙O内接正n边形的一边，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，所以有$\frac{360°}{n}=36°$，解得$n=\frac{360°}{36°}=10$。
【答案】
10
【知识点】
圆周角定理，正多边形的中心角
【点评】
本题考查圆周角定理与正多边形中心角的综合应用，属于基础题型，解题关键是明确圆周角与圆心角的关系，以及正多边形中心角的计算方法，难度不大，学生易掌握。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决本题，需结合正六边形和正方形的内角性质，利用直角三角形的三角函数关系建立方程求解。首先设正六边形边长为$a$，明确正六边形内角为$120°$，正方形内角为$90°$，再通过直角三角形$AHF$的边角关系，结合正方形边长为6的条件，列方程求出正六边形边长。
【解析】
设正六边形$ABCDEF$的边长为$a$，则$AF = AB = a$。
1. 计算正六边形内角：正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角为$\frac{720°}{6}=120°$，因此$∠ HAF = 180° - 120° = 60°$。
2. 分析直角三角形：因为四边形$BMGH$是正方形，所以$∠ H=90°$，$△ AHF$为直角三角形。在$Rt△ AHF$中，$\cos∠ HAF=\frac{AH}{AF}$，代入$∠ HAF=60°$、$AF=a$，得：
$\cos60°=\frac{AH}{a}$，即$\frac{1}{2}=\frac{AH}{a}$，解得$AH=\frac{a}{2}$。
3. 结合正方形边长列方程：正方形边长$BH=AB+AH=6$，代入$AB=a$、$AH=\frac{a}{2}$，得：
$a+\frac{a}{2}=6$，解得$a=4$。
【答案】
4
【知识点】
正六边形性质、正方形性质、直角三角形三角函数
【点评】
本题将正六边形与正方形结合，核心是利用多边形内角性质和直角三角形三角函数关系建立方程，关键在于确定直角三角形中角的度数，难度适中，考查学生对几何图形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算正六边形对角线AD的长，需先利用正六边形的面积公式求出其边长，再结合正六边形的内角性质和直角三角形的角度关系推导AD的长度。具体思路：1. 设正六边形边长为x，根据正六边形由6个等边三角形组成的面积公式列方程，解出边长；2. 利用正六边形内角为120°的特征，结合等腰三角形、直角三角形的角度关系，确定AD与边长的数量关系，进而计算AD。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为$x$。
因为正六边形的面积等于6个边长为$x$的等边三角形的面积之和，已知其面积为$24\sqrt{3}$，所以：
$6 × \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 = 24\sqrt{3}$
化简得：$\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2 = 24\sqrt{3}$，两边同除以$\sqrt{3}$得$\frac{3}{2}x^2 = 24$，解得$x^2=16$，因边长为正，故$x=4$。
连接$AC$，在正六边形中，$AB=BC=4$，$∠ B=120°$，则$△ ABC$为等腰三角形，$∠ BAC=∠ ACB=\frac{180° -120°}{2}=30°$，因此$∠ ACD=∠ BCD - ∠ ACB=120° -30°=90°$。
又正六边形中$∠ BAD=60°$，故$∠ CAD=∠ BAD - ∠ BAC=60° -30°=30°$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，$∠ ACD=90°$，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得$AD=2CD=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
正六边形性质、等边三角形面积、直角三角形性质
【点评】
本题是多边形与三角形结合的典型题型，需掌握正六边形的内角特征、面积公式，以及直角三角形的角度性质，解题关键是利用角度关系建立边长与对角线的联系，综合考查几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.5

【分析】要解决本题，需利用正八边形的性质：剪去的四个角是全等的等腰直角三角形，正八边形的边长等于等腰直角三角形的斜边长度。先设等腰直角三角形的直角边长为未知数，结合正八边形边长为1建立方程，求出直角边长后，再计算正方形的边长，最终求得正方形周长。
【解析】设剪去的等腰直角三角形的直角边长为$ x $，根据勾股定理，该等腰直角三角形的斜边长度为$ \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2} $。
因为正八边形的边长为1，所以斜边等于正八边形的边长，即$ x\sqrt{2} = 1 $，解得$ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $。
正方形的边长等于等腰直角三角形的两条直角边长加上中间正八边形的边长，因此正方形边长为$ x + 1 + x = 1 + 2x $，代入$ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $，得正方形边长为$ 1 + 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} $。
所以正方形的周长为$ 4×(1 + \sqrt{2}) = 4 + 4\sqrt{2} $。
【答案】D
【知识点】正八边形性质、正方形周长计算、等腰直角三角形性质
【点评】本题结合正方形与正八边形的几何特征，通过设未知数列方程求解边长，考查几何图形边长的转换关系，需明确剪去的角的形状与正八边形边长的联系，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】0.5

【分析】
要计算正三角形和正六边形的边长比，需先确定两者边长与外接圆半径的关系。设外接圆半径为$R$，利用正多边形的中心角性质，分别求出正三角形和正六边形的边长，再计算比值即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$。
1. 求正六边形的边长：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，正六边形的半径等于其边长，因此正六边形的边长为$R$。
2. 求正三角形的边长：正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，连接$OA$、$OB$，$OB$垂直正三角形的边$AC$于点$G$，则$∠ AOG=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，且$AG=\frac{1}{2}AC$。在$Rt△ AOG$中，$AG=OA·\sin60°=R·\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此正三角形的边长$AC=2AG=\sqrt{3}R$。
3. 计算边长比：正三角形与正六边形边长的比为$\sqrt{3}R:R=\sqrt{3}:1$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、解直角三角形
【点评】
本题结合正多边形的外接圆考查边长计算，核心是利用正多边形的中心角性质，结合直角三角形的三角函数求解，属于基础几何题，需掌握正多边形边长与外接圆半径的关系。
【难度系数】
0.5