第123页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

C

$35°$

$AD$

$BE$

 证明：过点$O$作$OH⊥ MN$于点$H，$连接$OD,OE,OF。$

 $\because ∠ ANM=90°=∠ ACB,∠ A=∠ A,AM=AB，$

 $\therefore △ AMN≌△ ABC。$$\therefore AN=AC。$

 $\because AD=AF，$$\therefore AN-AD=AC-AF，$即$DN=CF。$

 $\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为$D,E,F，$

 $\therefore ∠ OEC=∠ OFC=∠ ACB=∠ ODN=∠ OHN=∠ ANM=90°。$

 $\therefore$ 四边形$OECF$和四边形$OHND$是矩形。

 $\therefore CF=OE,OH=DN。$$\therefore OH=OE，$即$OH$是$\odot O$的半径。

 $\because OH⊥ MN，$$\therefore MN$是$\odot O$的切线。

 解：

 (1) $\because 5^2+12^2=25+144=169=13^2，$

 $\therefore$ 边长分别为5,12,13的三角形是以5,12为直角边长的直角三角形。

 设内切圆的半径为$r。$

 $\because S=\frac{1}{2}×5×12=30，$$l=5+12+13=30，$

 $\therefore r=\frac{2S}{l}=\frac{2×30}{30}=2。$

 $\therefore$ 边长分别为5,12,13的三角形的内切圆的半径为2。

 (2) 连接$OA,OB,OC,OD。$设内切圆的半径为$r。$

 $\because S=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OCD}+S_{△ AOD}，$

 又$\because S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB· r，$$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· r，$$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}CD· r，$$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}AD· r，$

 $\therefore S=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}CD· r+\frac{1}{2}AD· r=\frac{1}{2}(a+b+c+d)· r。$

 $\therefore r=\frac{2S}{a+b+c+d}。$

【分析】要计算AO的长度，需先利用勾股定理求出直角三角形的斜边AB，再结合切线长定理得到AD的长度，同时求出内切圆半径OD，最后在直角三角形ADO中用勾股定理计算AO。
【解析】在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
设$AD=AF=x$，$CD=CE=y$，$BE=BF=z$，由切线长定理可得：
$\begin{cases}x+y=4\\y+z=3\\x+z=5\end{cases}$
三式相加得$2(x+y+z)=12$，即$x+y+z=6$，因此$x=6-(y+z)=6-3=3$，即$AD=3$。
因为$\odot O$是$△ABC$的内切圆，与$AC$相切于点$D$，所以$OD⊥AC$，且内切圆半径$OD=r$。直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{AC+BC-AB}{2}$，代入得$r=\frac{4+3-5}{2}=1$，即$OD=1$。
在$Rt△ADO$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
【答案】C
【知识点】直角三角形内切圆、切线长定理、勾股定理
【点评】本题结合直角三角形内切圆性质，运用切线长定理和勾股定理求解，关键是求出AD和内切圆半径，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决本题，需利用三角形内切圆的性质：内心是角平分线的交点，且切线长相等。首先连接OD、OE、OB，通过角平分线性质求出∠AOB，再结合切线长定理得出OB垂直平分DE，最后利用角度关系计算∠AFD。
【解析】
如图，连接OD、OE、OB，OB交ED于点G。
1. 已知∠ACB=70°，根据三角形内角和为180°，得∠CAB + ∠CBA = 180° - 70° = 110°。
2. 因为⊙O是△ABC的内切圆，所以O是△ABC的内心，AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，因此∠OAB = ½∠CAB，∠OBA = ½∠CBA，故∠OAB + ∠OBA = ½(∠CAB + ∠CBA) = ½×110° = 55°。
3. 在△AOB中，∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - 55° = 125°。
4. 因为⊙O与AB、BC分别相切于D、E，所以OD⊥AB，OE⊥BC，且BD=BE（切线长定理），又OD=OE（⊙O的半径），所以OB垂直平分DE，即∠OGE=90°。
5. 由图形角度关系可知：∠AFD = ∠AOB - ∠OGF，而∠OGF=∠OGE=90°，因此∠AFD = 125° - 90° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
三角形内切圆、角平分线性质、切线长定理
【点评】
本题考查三角形内切圆的相关性质，需结合角平分线、切线长定理及三角形内角和求解，关键是构造辅助线OB，利用切线长相等得出OB垂直平分DE，进而推导角度，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.4

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，据此可确定AF和BD对应的相等线段；第(2)问要证明MN是⊙O的切线，需依据切线的判定定理，即证明圆心到直线的距离等于半径且垂直于直线，通过作辅助线，结合全等三角形、切线长定理及矩形性质完成推导。
【解析】
(1) 根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等。点A引⊙O的两条切线为AF、AD，故AF=AD；点B引⊙O的两条切线为BE、BD，故BD=BE。
(2) 证明：过点O作OH⊥MN于点H，连接OD，OE，OF。
∵ MN⊥AB，
∴ ∠ANM=90°=∠ACB，
又
∵ ∠A=∠A，AM=AB，
∴ △AMN≌△ABC（AAS），
∴ AN=AC。
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴ AD=AF（切线长定理），
∴ AN - AD = AC - AF，即 DN=CF。
∵ OE⊥BC，OF⊥AC，∠C=90°，
∴ 四边形OECF是矩形，又OE=OF（内切圆半径），
∴ 四边形OECF是正方形，故 CF=OE。
∵ OH⊥MN，OD⊥AB，
∴ ∠OHN=∠ODN=90°，又∠ANM=90°，
∴ 四边形OHND是矩形，故 OH=DN。
∵ DN=CF，CF=OE，
∴ OH=OE，即OH是⊙O的半径，
又
∵ OH⊥MN，
∴ MN是⊙O的切线。
【答案】
(1) AD；BE
(2) 证明过程如上，

【知识点】
切线长定理，切线的判定定理，内切圆性质
【点评】
本题综合考查圆的切线相关性质与判定，解题关键是利用切线长定理和线段等量代换，通过构造矩形将圆心到直线的距离转化为半径，属于中等难度的几何证明题，需学生熟练掌握圆的基础性质。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需先利用勾股定理逆定理判断三角形形状，再结合材料给出的三角形内切圆半径公式计算；第(2)问类比三角形内切圆半径的推导思路，通过将四边形面积分割为四个小三角形面积之和，推导四边形内切圆半径公式。具体来说，第(1)问先确定三角形为直角三角形，计算其面积和周长，代入公式即可；第(2)问连接内切圆圆心与四边形各顶点，将四边形拆分为四个以内切圆半径为高的小三角形，利用面积和建立等式，整理得到公式。
【解析】
(1) 因为 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，所以边长为5,12,13的三角形是直角三角形，直角边长为5和12。
该三角形的面积 $S = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$，周长 $l = 5 + 12 + 13 = 30$。
根据材料中三角形内切圆半径公式 $r = \frac{2S}{l}$，代入得：
$r = \frac{2 × 30}{30} = 2$。
(2) 如图，连接OA、OB、OC、OD，设四边形ABCD内切圆的半径为$r$。
四边形ABCD的面积$S$等于四个小三角形的面积之和，即：
$S = S_{△ OAB} + S_{△ OBC} + S_{△ OCD} + S_{△ OAD}$。
又因为 $S_{△ OAB} = \frac{1}{2}AB · r$，$S_{△ OBC} = \frac{1}{2}BC · r$，$S_{△ OCD} = \frac{1}{2}CD · r$，$S_{△ OAD} = \frac{1}{2}AD · r$，代入得：
$S = \frac{1}{2}AB · r + \frac{1}{2}BC · r + \frac{1}{2}CD · r + \frac{1}{2}AD · r = \frac{1}{2}(a + b + c + d) · r$。
整理得：$r = \frac{2S}{a + b + c + d}$。
【答案】
11. (1) 边长分别为5,12,13的三角形的内切圆的半径为2；(2) 四边形的内切圆半径公式为$r=\frac{2S}{a+b+c+d}$。

【知识点】
三角形内切圆半径公式，四边形内切圆半径公式，勾股定理逆定理
【点评】
本题通过类比推理的方法，将三角形内切圆半径的推导思路迁移到四边形中，既考查了勾股定理逆定理的应用，又锻炼了学生的面积分割思想和公式推导能力，是一道基础的几何应用题目。
【难度系数】
0.5