第115页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

C

4

3或5

 解：

 (1) 过点$P$作$PD⊥ AC$于点$D。$

 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°，$$BC=2，$

 $\therefore AB=2BC=4。$

 $\because P$是$AB$的中点，

 $\therefore AP=\frac{1}{2}AB=2。$

 在$\mathrm{Rt}△ APD$中，$∠ A=30°，$$AP=2，$

 $\therefore PD=\frac{1}{2}AP=1。$

 $\because \odot P$与$AC$相切，

 $\therefore \odot P$的半径为$1。$

 (2) 过点$P$作$PE⊥ BC$于点$E。$

由

 (1)得$AD=\sqrt{AP^2-PD^2}=\sqrt{3}，$

 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=2\sqrt{3}，$

 $\therefore CD=AC-AD=\sqrt{3}。$

 易知四边形$PDCE$是矩形，

 $\therefore PE=CD=\sqrt{3}。$

 $\therefore$ 当$\odot P$的半径为$\sqrt{3}$时，$\odot P$与直线$AC$相交，与直线$BC$相切。

 解：

 (1) 过点$P$作直线$x=2$的垂线，垂足为$A。$

 当点$P$在直线$x=2$的右侧时，$AP=x-2=3，$解得$x=5，$

 代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=\frac{15}{2}，$$\therefore P(5,\frac{15}{2})。$

 当点$P$在直线$x=2$的左侧时，$PA=2-x=3，$解得$x=-1，$

 代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=-\frac{3}{2}，$$\therefore P(-1,-\frac{3}{2})。$

 综上所述，当$\odot P$与直线$x=2$相切时，点$P$的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})。$

 (2) 当$\odot P$与直线$x=2$相交时，$x$的取值范围是$-1＜x＜5；$

 当$\odot P$与直线$x=2$相离时，$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞5。$

【分析】要确定直线与圆相交时$b$的取值范围，需利用直线与圆相交的几何条件：圆心到直线的距离小于圆的半径。首先将直线方程化为一般式，再用点到直线的距离公式计算原点（圆心）到直线的距离，根据距离小于半径列出关于$b$的不等式，解不等式即可得到$b$的范围，最后对应选项选出答案。
【解析】1. 将直线$y=-x+b$整理为一般式：$x + y - b = 0$；
2. 圆心为原点$O(0,0)$，根据点到直线的距离公式，原点到直线的距离$d = \frac{|0 + 0 - b|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|b|}{\sqrt{2}}$；
3. 直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径（半径$r=2$），即$d ＜ r$，代入得：$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$；
4. 解绝对值不等式：两边同乘$\sqrt{2}$（正数，不等号方向不变），得$|b| ＜ 2\sqrt{2}$，即$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式
【点评】本题考查数形结合思想的应用，将直线与圆的位置关系转化为代数不等式求解，是基础题型，需掌握点到直线距离公式及直线与圆相交的条件。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决这个问题，需结合切线的性质和直角三角形的角度关系，利用分类讨论思想分析射线旋转的两种相切情况：首先，切线的性质是圆心到切线的距离等于半径，据此可确定旋转后射线与BO的夹角；再根据射线顺时针旋转的不同位置，分两种情况计算旋转角度，避免漏解。
【解析】
设旋转后与$\odot O$相切的射线为$BA'$，过点$O$作$OD ⊥ BA'$于点$D$。
因为$BA'$与$\odot O$相切，所以$OD$为$\odot O$的半径，即$OD=\dfrac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$OD=\dfrac{1}{2}OB$，根据直角三角形的性质：直角边等于斜边的一半时，该直角边所对的角为$30°$，可得$∠ OBA'=30°$。
情况1：当$BA'$在$∠ ABC$内部时，
旋转角为$∠ ABC - ∠ OBA' = 80° - 30° = 50°$；
情况2：当$BA'$在$BC$的另一侧（下方）时，
此时$BA'$与$BC$的夹角为$30°$，旋转角为$∠ ABC + 30° = 80° + 30° = 110°$。
综上，射线$BA$绕点$B$顺时针旋转的角度为$50°$或$110°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质、直角三角形的性质、分类讨论思想
【点评】
本题结合切线性质与直角三角形的角度关系，核心是通过分类讨论找到射线旋转的两种相切情况，需注意旋转的不同位置，避免漏解，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5

【分析】首先明确直线与圆相切的性质：当直线$l$与$\odot O$相切时，圆心$O$到直线$l$的距离$d$等于$\odot O$的半径$R$，即$d=R$。已知$R$和$d$是方程$x^2 -4x+m=0$的根，说明该方程有两个相等的实数根，因此可利用一元二次方程根的判别式求解$m$的值。
【解析】因为直线$l$与$\odot O$相切，所以$d=R$。又因为$R$和$d$是方程$x^2 -4x+m=0$的两个根，所以该方程有两个相等的实数根。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta =b^2-4ac$，当$\Delta=0$时方程有两个相等实根。此方程中$a=1$，$b=-4$，$c=m$，代入得$\Delta=(-4)^2 -4×1×m=16-4m=0$，解得$m=4$。
【答案】4
【知识点】直线与圆的位置关系、一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查直线与圆相切的性质及一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，关键是掌握相切时$d=R$，进而转化为方程有等根的问题求解。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决本题，需利用圆与直线相切的性质：圆心到直线的距离等于半径。已知直线$a⊥b$，垂足为$H$，圆心$O$在直线$b$上，因此$O$到直线$a$的距离就是线段$OH$的长度。结合$\odot O$半径为1且与直线$a$相切，可得$OH=1$；再根据$O$在直线$b$上的位置分两种情况讨论，即可求出$OP$的长度。
【解析】
∵ 直线$a⊥b$，垂足为$H$，$\odot O$与直线$a$相切，且$\odot O$的半径为1，
∴ 圆心$O$到直线$a$的距离等于半径，即$OH=1$。
∵ 点$P$在直线$b$上，$PH=4$，
① 当点$O$在$H$的左侧（靠近$P$一侧）时，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3$；
② 当点$O$在$H$的右侧（远离$P$一侧）时，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5$。
综上，$OP$的长为$3$或$5$。
【答案】
3或5
【知识点】
圆与直线相切、点到直线的距离
【点评】
本题是易错题，核心是需全面考虑圆心$O$在直线$b$上的两种位置，避免因漏解导致错误，解题时要注意分类讨论的完整性。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需利用直角三角形的性质求出相关线段长度，再根据直线与圆的位置关系判定方法（圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离等于半径时相切，距离小于半径时相交，距离大于半径时相离）解题。
(1) 对于⊙P与AC相切的问题，需过圆心P作AC的垂线，该垂线段长度即为⊙P的半径；
(2) 对于判断⊙P与AC、BC的位置关系，需分别求出P到AC、BC的距离，再与半径比较大小。
【解析】
(1) 过点P作PD⊥AC于点D。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得AB=2BC=4。
∵P是AB的中点，
∴AP=½AB=2。
在Rt△APD中，∠A=30°，AP=2，
∴PD=½AP=1。
∵⊙P与AC相切，
∴⊙P的半径等于圆心P到AC的距离PD，即⊙P的半径为1。
(2) 过点P作PE⊥BC于点E。
由(1)知，AD=√(AP²-PD²)=√(2²-1²)=√3，在Rt△ABC中，AC=√(AB²-BC²)=√(4²-2²)=2√3，
∴CD=AC-AD=2√3 - √3=√3。
易知四边形PDCE中，∠PDC=∠C=∠PEC=90°，故四边形PDCE是矩形，
∴PE=CD=√3。
已知⊙P的半径为√3，
∵P到AC的距离PD=1 ＜ √3，
∴⊙P与直线AC相交；
∵P到BC的距离PE=√3 = 半径，
∴⊙P与直线BC相切。
【答案】
(1) ⊙P的半径为1；(2) ⊙P与直线AC相交，与直线BC相切。
【知识点】
直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，矩形的判定
【点评】
本题考查直线与圆的位置关系的判定，核心是利用直角三角形性质和中点性质求圆心到直线的距离，需掌握“距离与半径的大小关系判定位置关系”的方法，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决该问题，需利用圆与直线的位置关系判定规则：圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径；相交时距离小于半径；相离时距离大于半径。已知点P在正比例函数$y=\frac{3}{2}x$上，其坐标可表示为$(x,\frac{3}{2}x)$，直线$x=2$是垂直于x轴的直线，点P到该直线的距离为$|x-2|$，据此结合距离与半径的关系分情况求解即可。
【解析】
(1) 已知$\odot P$的半径为3，点$P(x,y)$在$y=\frac{3}{2}x$上，故$y=\frac{3}{2}x$。
点P到直线$x=2$的距离为$|x-2|$，当$\odot P$与直线$x=2$相切时，距离等于半径，即：
$|x-2|=3$
解绝对值方程：
当$x-2=3$时，$x=5$，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=\frac{15}{2}$，故$P(5,\frac{15}{2})$；
当$x-2=-3$时，$x=-1$，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=-\frac{3}{2}$，故$P(-1,-\frac{3}{2})$。
因此，$\odot P$与直线$x=2$相切时，点P的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$。
(2) 当$\odot P$与直线$x=2$相交时，距离小于半径，即$|x-2|＜3$，解不等式得：$-1＜x＜5$；
当$\odot P$与直线$x=2$相离时，距离大于半径，即$|x-2|＞3$，解不等式得：$x＜-1$或$x＞5$。
【答案】
(1) $(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$；(2) 相交时：$-1＜x＜5$；相离时：$x＜-1$或$x＞5$
【知识点】
一次函数、圆与直线的位置关系、绝对值方程与不等式
【点评】
本题结合正比例函数考查圆与直线的位置关系，核心是利用点到直线的距离与半径的关系，需注意绝对值方程的解有两种情况，避免漏解，整体难度适中。
【难度系数】
0.6