第114页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

C

6.5

两

相离

2或$\sqrt{5}$

$8≤ AB≤10$

 解：$\because AB=10\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},AC=8\ \mathrm{cm}，$

 $\therefore AB^2=BC^2+AC^2，$

 $\therefore ∠ ACB=90°。$

 过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D。$

 $\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC，$

 $\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=4.8\ \mathrm{cm}。$

 (1) 当$r=4\ \mathrm{cm}$时，$CD＞r，$$\therefore \odot C$与边$AB$所在的直线相离。

 (2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$时，$CD=r，$$\therefore \odot C$与边$AB$所在的直线相切。

 (3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$时，$CD＜r，$$\therefore \odot C$与边$AB$所在的直线相交。

【分析】
首先明确直线与圆的三种位置关系对应的公共点个数：相离（无公共点）、相切（1个公共点）、相交（2个公共点）。题目要求直线与圆有公共点，即公共点个数≥1，需排除无公共点的相离，剩余的相切和相交均满足条件，据此判断选项。
【解析】
根据直线与圆的位置关系定义：
1. 直线与圆没有公共点时，位置关系为相离；
2. 直线与圆有且只有1个公共点时，位置关系为相切；
3. 直线与圆有2个公共点时，位置关系为相交。
题目中直线l与⊙O有公共点，说明公共点个数≥1，因此对应的位置关系是相切或相交，故答案为D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题为易错题，核心是区分“有公共点”与“只有一个公共点”的表述，需牢记直线与圆位置关系对应的公共点数量，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.5

【分析】要使$\odot A$与$BC$相切，根据圆与直线相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径，可知需先求圆心$A$到直线$BC$的距离，该距离即为$\odot A$的半径。在$\mathrm{Rt}△ABC$中，结合已知的角度和边长，利用直角三角形的性质与勾股定理计算点$A$到$BC$的距离即可。
【解析】在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=4$。
1. 根据“直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半”，可得斜边$AB=2BC=2×4=8$。
2. 由勾股定理，直角边$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=\sqrt{64 - 16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
3. 因为$∠ C=90°$，所以$AC⊥ BC$，即点$A$到直线$BC$的距离为$AC=4\sqrt{3}$，因此当$\odot A$的半径为$4\sqrt{3}$时，$\odot A$与$BC$相切。
【答案】C
【知识点】切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】本题结合圆的切线性质与直角三角形的相关知识求解，核心是明确“圆心到切线的距离等于半径”，再利用直角三角形的边角关系计算边长，难度适中，需熟练掌握直角三角形的性质。
【难度系数】0.5

【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小关系判断位置。首先由圆的直径算出半径$r$，再结合直线与圆相切、相交、相离的判定规则，逐一解决三个小问题。
【解析】
已知$\odot O$的直径为$13\mathrm{cm}$，则半径$r = \frac{13}{2} = 6.5\mathrm{cm}$。
(1) 直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即$d = r = 6.5\mathrm{cm}$；
(2) 当$d = 5$时，$5 ＜ 6.5$，即$d ＜ r$，此时直线与圆相交，有$2$个公共点；
(3) 当$d = 13$时，$13 ＞ 6.5$，即$d ＞ r$，直线与圆的位置关系是相离。
【答案】
(1) $6.5$；(2) 两；(3) 相离
【知识点】
直线与圆的位置关系，圆的半径计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，只需牢记“$d=r$相切、$d＜r$相交、$d＞r$相离”的判定规则，结合半径计算即可快速解答，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决该问题，需结合圆与坐标轴的位置关系分析：圆与坐标轴的公共点个数由圆心到坐标轴的距离与半径的大小关系决定。已知圆心A(2,1)，到x轴的距离为1，到y轴的距离为2。圆与坐标轴有三个公共点，存在两种符合条件的情况：一是圆与一条坐标轴相切、与另一条坐标轴相交（公共点总数为1+2=3）；二是圆经过原点，与两条坐标轴各有一个额外交点（共3个公共点）。
【解析】
设⊙A的半径为r，圆心A(2,1)到x轴的距离d₁=1，到y轴的距离d₂=2。
1. 当⊙A与y轴相切、与x轴相交时：
相切时半径等于圆心到y轴的距离，即r=d₂=2；
验证：d₁=1＜r=2，故⊙A与x轴相交，有2个交点，总公共点为1+2=3，符合条件。
2. 当⊙A经过原点时：
半径等于圆心到原点的距离，即r=√(2²+1²)=√5；
验证：⊙A方程为(x-2)²+(y-1)²=5，与x轴交于(0,0)、(4,0)，与y轴交于(0,0)、(0,2)，总公共点为3个，符合条件。
3. 当⊙A与x轴相切、与y轴相交时：
r=d₁=1，此时d₂=2＞r=1，⊙A与y轴相离，仅1个公共点，不符合条件，排除。
综上，⊙A的半径为2或√5。
【答案】
2或$\sqrt{5}$
【知识点】
圆与坐标轴的位置关系、点到坐标轴的距离
【点评】
本题需分情况讨论半径的取值，核心是明确“三个公共点”对应的几何场景，避免漏解，考查学生对圆与坐标轴位置关系的综合应用能力。
【难度系数】
0.4

【分析】
要确定弦AB的取值范围，需结合圆的弦长公式和同心圆的性质：弦长与圆心到弦的距离相关，弦长公式为$l=2\sqrt{R^2-d^2}$（$R$为圆半径，$d$为圆心到弦的距离）；弦AB与小圆有公共点，意味着圆心到AB的距离$d$满足$0≤ d≤$小圆半径（$d=r=3$时AB与小圆相切，$d＜3$时AB与小圆相交，均有公共点）。根据弦长随$d$的变化规律（$d$越大弦长越短，$d$越小弦长越长），即可推导AB的范围。
【解析】
设圆心$O$到弦$AB$的距离为$d$，大圆半径$R=5$，小圆半径$r=3$。
1. 求最短弦长：当AB与小圆相切时，$d=r=3$，此时弦AB最短，代入弦长公式：
$AB=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{5^2-3^2}=2\sqrt{16}=8$；
2. 求最长弦长：当AB为大圆直径时，弦AB最长，此时$d=0$，$AB=2R=10$，该直径必然与小圆有公共点，符合条件；
3. 结合AB与小圆有公共点的条件，$d$的范围是$0≤ d≤3$，对应弦长范围为$8≤ AB≤10$。
【答案】
$8≤AB≤10$
【知识点】
圆的弦长计算、同心圆性质
【点评】
本题结合弦长公式和同心圆的位置关系，确定弦长的取值范围，核心是明确弦与小圆有公共点时圆心到弦的距离范围，属于圆的基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】要判断$\odot C$与直线$AB$的位置关系，需先求出圆心$C$到直线$AB$的距离$d$，再根据$d$与半径$r$的大小关系判定：当$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。首先利用勾股定理的逆定理确定$△ ABC$是直角三角形，再通过三角形面积公式求出点$C$到$AB$的距离，最后将各$r$与该距离比较即可得到结果。
【解析】
$\because AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB^2=10^2=100$，$BC^2+AC^2=6^2+8^2=100$，
$\therefore AB^2=BC^2+AC^2$，根据勾股定理的逆定理，得$∠ ACB=90°$。
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$，即圆心$C$到直线$AB$的距离$d=4.8\ \mathrm{cm}$。
(1) 当$r=4\ \mathrm{cm}$时，$\because d=4.8\ \mathrm{cm}＞r=4\ \mathrm{cm}$，$\therefore \odot C$与边$AB$所在的直线相离；
(2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$时，$\because d=4.8\ \mathrm{cm}=r=4.8\ \mathrm{cm}$，$\therefore \odot C$与边$AB$所在的直线相切；
(3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$时，$\because d=4.8\ \mathrm{cm}＜r=6\ \mathrm{cm}$，$\therefore \odot C$与边$AB$所在的直线相交。
【答案】
(1) 相离；(2) 相切；(3) 相交
【知识点】
直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理、三角形面积公式
【点评】
本题考查直线与圆的位置关系的判定，核心是用面积法求出圆心到直线的距离，再通过距离与半径的大小关系判断位置，属于基础题型，需掌握相关判定方法和面积法的应用。
【难度系数】
0.6