第96页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

$\frac{5}{2}$或2

 解：过点A作$AD⊥ BC$于点D，连接AO，BO。

 $\because AB=AC，$$AD⊥ BC，$

 $\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC，$即AD垂直平分BC。

 $\because \odot O$是$△ ABC$的外接圆，

 $\therefore AO$垂直平分BC，

 $\therefore AD$的延长线必过圆心O。

 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=6，$$BD=\frac{1}{2}BC=5，$

 $\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{11}。$

 设$\odot O$的半径为$r。$

 在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$OB=r，$$OD=r-\sqrt{11}，$根据勾股定理，得$OB^2=OD^2+BD^2，$

 即$r^2=(r-\sqrt{11})^2+5^2，$

 解得$r=\frac{18\sqrt{11}}{11}，$

 即$△ ABC$的外接圆$\odot O$的半径为$\frac{18\sqrt{11}}{11}。$

 解：根据题意，点$A(-1,0)，$$B(1,0)，$$C(-3,2)$都在$\odot P$上，

 $\therefore PC=PB，$且易得点P在y轴上。

 设点P的坐标为$(0,a)，$

 $\therefore PC^2=(-3-0)^2+(2-a)^2，$$PB^2=(1-0)^2+(0-a)^2，$

 $\therefore (-3-0)^2+(2-a)^2=(1-0)^2+(0-a)^2，$

 解得$a=3，$

 $\therefore$ 点P的坐标为$(0,3)。$

【分析】
先求解一元二次方程得到两个根，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边一半的性质，分两种情况讨论这两个根是直角边还是包含斜边，进而计算外接圆半径，注意避免漏解。
【解析】
解方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x=3$或$x=4$。
直角三角形外接圆的半径等于斜边长度的一半，分两种情况：
1. 若3和4均为直角边，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2 +4^2}=5$，则外接圆半径为$\frac{5}{2}$；
2. 若4为斜边、3为直角边，则外接圆半径为$\frac{4}{2}=2$。
综上，此直角三角形外接圆的半径为$\frac{5}{2}$或2。
【答案】
$\frac{5}{2}$或2
【知识点】
一元二次方程解法；直角三角形性质；三角形外接圆
【点评】
本题需注意直角三角形的两条边可能为直角边或含斜边，需分情况讨论，核心是掌握直角三角形外接圆半径与斜边的关系，易因漏解出错。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算等腰△ABC的外接圆半径，先利用等腰三角形三线合一确定AD垂直平分BC，结合外接圆圆心在BC的垂直平分线上，得出圆心O在AD的延长线上；再设外接圆半径为r，在Rt△ABD中算出AD的长度，最后在Rt△OBD中利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可得到半径。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，连接OB。
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，AD垂直平分BC。
∵ ⊙O是△ABC的外接圆，
∴ 圆心O在AD的延长线上，设⊙O的半径为r，则OB=r，OD=r - AD。
在Rt△ABD中，AB=6，BD=5，由勾股定理得：
AD=$\sqrt{AB^2 - BD^2}$=$\sqrt{6^2 -5^2}$=$\sqrt{11}$。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
OB²=OD² + BD²，即$r^2=(r - \sqrt{11})^2 +5^2$，
展开右边：$r^2 = r^2 - 2\sqrt{11}r +11 +25$，
化简得：$2\sqrt{11}r=36$，
解得：$r=\frac{18\sqrt{11}}{11}$。
【答案】
$\frac{18\sqrt{11}}{11}$
【知识点】
等腰三角形性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合等腰三角形与外接圆的性质，利用勾股定理求解外接圆半径，是几何计算的典型题型，需掌握圆心位置的确定方法。
【难度系数】
0.6

【分析】
要确定△ABC外接圆的圆心P，需利用外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等的性质（PA=PB=PC）。观察A(-1,0)和B(1,0)，两点关于y轴对称，因此AB的垂直平分线为y轴，故圆心P在y轴上，可设P的坐标为(0,a)。再根据两点间距离公式，结合PC=PB列方程求解a即可。
【解析】
∵ ⊙P是△ABC的外接圆，
∴ PA=PB=PC。
又
∵ A(-1,0)，B(1,0)，两点横坐标互为相反数、纵坐标相同，
∴ AB的垂直平分线为y轴，即圆心P在y轴上，设P(0,a)。
根据两点间距离公式：
PC² = (-3 - 0)² + (2 - a)² = 9 + (2 - a)²，
PB² = (1 - 0)² + (0 - a)² = 1 + a²。
∵ PC=PB，
∴ PC²=PB²，即：
9 + (2 - a)² = 1 + a²，
展开得：9 + 4 - 4a + a² = 1 + a²，
化简得：13 - 4a = 1，
解得：a=3。
∴ 点P的坐标为(0,3)。
【答案】
(0,3)
【知识点】
两点间距离公式，三角形外接圆的性质
【点评】
本题结合两点间距离公式与三角形外接圆的性质，利用对称性简化圆心坐标的设定，解题思路清晰，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.6