第85页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

$2\sqrt{5}-\sqrt{2}$

3

等边三角形

$BD=CE$

$120°$

 解：

 (2) ① $BD=CE，$理由如下：

 由题意，知$∠ BAC=α=90°=∠ DAE，$

 $\therefore ∠ BAD=∠ CAE。$

 由旋转的性质，知$AD=AE。$

 在$△ BAD$和$△ CAE$中，

 $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$

 $\therefore △ BAD ≌ △ CAE。$

 $\therefore BD=CE。$

 ② $\because ∠ BAC=90°，$$AB=AC，$

 $\therefore ∠ B=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=45°。$

 $\because △ BAD ≌ △ CAE，$

 $\therefore ∠ ACE=∠ B=45°。$

 $\therefore ∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=90°。$

 即$∠ BCE=90°。$

 (3) $DE=\sqrt{5}$或$DE=\sqrt{17}$

【分析】要解决正方形旋转时线段CF的最小值问题，需利用三角形三边关系（两点之间线段最短）。首先连接AF和AC，AF是正方形AEFG的对角线，长度固定；AC是矩形ABCD的对角线，长度也固定。根据三角形三边关系，CF≥AC - AF，当点F落在AC上时，CF取得最小值，即AC与AF的长度差。
【解析】连接AF、AC。
1. 计算AC的长度：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 计算AF的长度：正方形AEFG的边长为1，根据正方形对角线公式，$AF=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
3. 根据三角形三边关系：对于任意点F，有$AF + CF ≥ AC$，即$CF ≥ AC - AF$。当点A、F、C三点共线，且F在A与C之间时，等号成立，此时CF取得最小值，最小值为$AC - AF=2\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
【答案】$2\sqrt{5}-\sqrt{2}$
【知识点】矩形性质、正方形性质、勾股定理
【点评】本题结合矩形和正方形的性质，利用勾股定理计算固定线段长度，再通过三角形三边关系求线段最小值，关键是找到F在AC上时CF最小的情况，属于几何最值的典型题型，需掌握线段最值的核心思路。
【难度系数】0.5

【分析】要解决当BF最小时CE的长，需利用旋转的性质和正方形的特征，通过构造全等三角形确定点F的位置，再将BF的长度转化为关于CE的二次函数，利用二次函数的最值求解。具体步骤：1. 作辅助线构造直角三角形，结合旋转的90°角和AE=FE的条件，证明△AME≌△ENF；2. 设CE=x，用x表示Rt△BFG的两条直角边BG和FG；3. 根据勾股定理写出BF²的表达式，化简为二次函数形式，找到最小值对应的x值，即CE的长度。
【解析】如图，过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FN⊥ME，交ME的延长线于点N，延长FN交BC的延长线于点G，则∠AME=∠BME=∠ENF=∠ENG=90°。
∴∠MAE+∠AEM=90°。
∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段FE，
∴∠AEF=90°，AE=FE。
∴∠NEF+∠AEM=90°，
∴∠MAE=∠NEF。
在△AME和△ENF中，
$\{\begin{array}{l}∠AME=∠ENF, \\∠MAE=∠NEF, \\AE=EF,\end{array} $
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴AM=EN，ME=NF。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BME=∠MBC=∠BCE=90°，
∴四边形MBCE是矩形，故MB=EC，ME=BC=AB=6。
设EC=MB=x，则AM=AB - MB=6 - x，
由△AME≌△ENF得EN=AM=6 - x，NF=ME=6。
又
∵四边形MBGN是矩形，
∴BG=MN=ME + EN=6 + (6 - x)=12 - x，FG=FN + NG=NF + MB=6 + x（NG=MB=x）。
在Rt△BFG中，由勾股定理得：
$BF^2 = BG^2 + FG^2 = (12 - x)^2 + (6 + x)^2$，
展开化简：
$BF^2 = 144 - 24x + x^2 + 36 + 12x + x^2 = 2x^2 - 12x + 180 = 2(x - 3)^2 + 162$。
∵2＞0，
∴当x=3时，$BF^2$取得最小值，即BF最小，此时CE=x=3。
【答案】3
【知识点】正方形性质、旋转性质、全等三角形判定
【点评】本题是正方形与旋转结合的最值问题，核心是通过构造全等三角形转化线段关系，将几何最值转化为二次函数的最值，体现了数形结合的思想，考查了学生的辅助线构造能力和代数运算能力，属于中档题。
【难度系数】0.5

【分析】
本题以等腰三角形的旋转为背景，核心是利用旋转的性质得到边、角的等量关系，通过全等三角形推导线段和角的关系；第(3)问需结合分类思想，分D在直线BC上的不同位置计算DE长度，关键是掌握全等三角形的判定及等腰直角三角形的性质。
【解析】
(1) ① 由旋转性质得：$AD=AE$，旋转角$α=60°$，故$∠ DAE=60°$，结合$AD=AE$，可得$△ ADE$为等边三角形；
② 因为$∠ BAC=α=60°$，$AB=AC$，所以$△ ABC$为等边三角形，$∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=60°-∠ DAC$，$∠ CAE=∠ DAE-∠ DAC=60°-∠ DAC$，因此$∠ BAD=∠ CAE$。在$△ BAD$和$△ CAE$中，$\begin{cases}AB=AC\\∠ BAD=∠ CAE\\AD=AE\end{cases}$，故$△ BAD≌△ CAE$（SAS），得$BD=CE$；又$∠ ACE=∠ B=60°$，$∠ ACB=60°$，所以$∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=120°$。
(2) ① $BD=CE$，理由：由题意$∠ BAC=α=90°=∠ DAE$，故$∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$。结合旋转得$AD=AE$，且$AB=AC$，所以$△ BAD≌△ CAE$（SAS），因此$BD=CE$；
② 因为$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，所以$∠ B=∠ ACB=45°$，由$△ BAD≌△ CAE$得$∠ ACE=∠ B=45°$，故$∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=45°+45°=90°$。
(3) 分两种情况：
情况1：D在BC的延长线上，此时$BD=BC+CD=4$，由$△ BAD≌△ CAE$得$AD=AE$，$∠ DAE=90°$，计算得$DE=\sqrt{17}$；
情况2：D在CB的延长线上，此时$BD=BC-CD=2$，计算得$DE=\sqrt{5}$；
故$DE=\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$。
【答案】
(1) ① 等边三角形；② $BD=CE$，$120°$；(2) ① $BD=CE$；② $90°$；(3) $\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查几何变换中的旋转、全等三角形及等腰三角形的性质，需掌握全等证明的基本方法，第(3)问的分类讨论是易错点，体现了几何题中分类思想的应用。
【难度系数】
0.4