第84页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

C

D

$150°$

$135°$

A

D

3

$\sqrt{39}$

$\frac{15}{4}$

【分析】
要解决这道题，首先利用旋转的性质得到对应边相等，再结合三角形内角和定理计算角度。先在Rt△AOB中求出∠A的度数，再根据旋转后OA=OA'得到等腰三角形，进而求出旋转角∠AOA'的度数。
【解析】
在△AOB中，∠AOB=90°，∠B=25°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠AOB - ∠B = 180° - 90° - 25° = 65°。
因为△A'OB'是△AOB绕点O旋转得到的，根据旋转的性质，旋转前后对应边相等，所以OA=OA'，即△OAA'是等腰三角形，因此∠OA'A = ∠A = 65°。
再根据三角形内角和，旋转角∠AOA' = 180° - ∠A - ∠OA'A = 180° - 65° - 65° = 50°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和
【点评】
本题考查旋转性质的应用，核心是利用旋转前后对应边相等构造等腰三角形，结合三角形内角和计算角度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需利用旋转的性质、正方形的性质及三角形内角和定理推导角度。首先，根据旋转的性质得到对应边、对应角相等，判断出等腰直角三角形，再结合已知角度逐步计算出所求角的度数。
【解析】
1. 由旋转的性质可知：$△ EBC ≌ △ FDC$，因此 $CE = CF$，$∠ EBC = ∠ FDC = 15°$，且旋转角 $∠ ECF = ∠ BCD = 90°$。
2. 因为 $CE = CF$，$∠ ECF = 90°$，所以 $△ ECF$ 是等腰直角三角形，故 $∠ EFC = 45°$。
3. 在 $△ BEC$ 中，$∠ BCE = 90°$，$∠ EBC = 15°$，根据三角形内角和为 $180°$，可得 $∠ BEC = 180° - 90° - 15° = 75°$，因此 $∠ DFC = ∠ BEC = 75°$。
4. 所以 $∠ EFD = ∠ DFC - ∠ EFC = 75° - 45° = 30°$。
【答案】
D
【知识点】
图形旋转的性质、等腰直角三角形、三角形内角和
【点评】
本题结合正方形背景考查旋转的性质，关键是利用旋转得到的对应关系推导角度，需熟练掌握旋转的性质及特殊三角形的角度特征。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决等边三角形内一点的角度问题，可利用旋转法构造特殊三角形。因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAC=60°，将△APB绕点A逆时针旋转60°使AB与AC重合，能将分散的PA、PB、PC转化到相关三角形中，再结合等边三角形和直角三角形的性质计算角度。
【解析】
1. 旋转构造：将△APB绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，得到△APC'，连接PP'。
由旋转的性质得：AP=AP'=3，PB=PC'=4，∠PAP'=∠BAC=60°。
2. 判定等边三角形：因为AP=AP'，∠PAP'=60°，所以△APP'是等边三角形，因此PP'=PA=3，∠AP'P=60°。
3. 判定直角三角形：在△PP'C'中，PP'=3，PC'=4，PC=5，满足$3^2+4^2=5^2$，根据勾股定理的逆定理，△PP'C'是直角三角形，且∠PP'C'=90°。
4. 计算角度：∠AP'C=∠AP'P + ∠PP'C'=60°+90°=150°，由旋转的对应角相等，得∠APB=∠AP'C=150°。
【答案】
150°
【知识点】
等边三角形性质、旋转的性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题通过旋转构造等边三角形和直角三角形，将分散的线段集中，利用特殊三角形的性质求解角度，是等边三角形内点问题的典型解法，需掌握旋转转化的核心思路。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决这个问题，我们利用等腰直角三角形的旋转性质，将分散的线段集中，通过构造特殊三角形（等腰直角三角形、直角三角形）来求解角度。核心思路是：将△CPB绕点C旋转90°，使CB与CA重合，得到全等三角形，再结合勾股定理及其逆定理计算角度。
【解析】
1. 旋转构造：将△CPB绕点C顺时针旋转90°，使点B与点A重合，得到△CP'A。
2. 旋转性质：由旋转可知，CP=CP'=√2，PB=P'A=1，∠PCP'=90°，且∠BPC=∠AP'C。
3. 计算等腰直角三角形边长：在等腰直角△PCP'中，PP'=√(CP²+CP'²)=√[(√2)²+(√2)²]=2，故∠CP'P=45°。
4. 勾股定理逆定理判断直角：在△PP'A中，P'A=1，PP'=2，PA=√5，满足1²+2²=(√5)²，因此△PP'A是直角三角形，∠PP'A=90°。
5. 求角度：∠AP'C=∠CP'P+∠PP'A=45°+90°=135°，所以∠BPC=135°。
【答案】
135°
【知识点】
旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理逆定理
【点评】
本题通过旋转转化线段，将未知角度转化为已知特殊三角形的角度和，是几何中常用的转化方法，需掌握旋转构造全等的技巧。
【难度系数】
0.3

【分析】
要解决本题，需利用旋转的性质和等边三角形的性质推导△PAQ的形状，进而求出PQ的长度。步骤如下：
1. 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等、对应角相等，因此△PAB旋转得到△QAC时，PA=QA，且旋转角∠PAQ等于原等边三角形的内角∠BAC；
2. 结合等边三角形的内角为60°，可得∠PAQ=60°；
3. 根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，判断△PAQ为等边三角形，从而得出PQ与PA的数量关系。
【解析】
∵将△PAB绕点A按逆时针方向旋转得到△QAC，
∴PA = QA，∠PAQ = ∠BAC。
又
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = 60°，
∴∠PAQ = 60°。
在△PAQ中，PA = QA，∠PAQ = 60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ = PA = 2。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合旋转性质与等边三角形的判定，核心是利用旋转得到的等线段和等角，推导△PAQ为等边三角形，进而快速求解PQ长度，属于基础几何综合题，需掌握旋转的基本性质和等边三角形的判定定理。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决本题，需先利用直角三角形的性质求出Rt△ABC的边长，再结合旋转的性质得到对应边和角的关系，根据点A'、B、A共线的条件分析角度，找到等腰三角形后计算线段长度，最终得到AA'的长。具体步骤：1. 利用直角三角形30°角的性质和勾股定理求AB、AC；2. 由旋转性质得CA'=CA、∠A'=∠A；3. 根据共线条件分析△A'CA和△A'BC的角度，通过等角对等边求A'B；4. 计算AA'=A'B+AB。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=1$。
根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得$AB=2BC=2×1=2$。
由勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
因为$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转得到$△ A'B'C$，根据旋转的性质，对应边相等、对应角相等，所以$CA'=CA=\sqrt{3}$，$∠ A'=∠ A=30°$。
又因为点$A'$、$B$、$A$在同一条直线上，所以$△ A'CA$为等腰三角形，$∠ A'=∠ CAA'=30°$，则$∠ A'CA=180° -30° -30°=120°$。
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180° -90° -30°=60°$，所以$∠ A'BC=180° - ∠ ABC=180° -60°=120°$。
在$△ A'BC$中，$∠ A'=30°$，$∠ A'BC=120°$，故$∠ A'CB=180° -30° -120°=30°$，因此$∠ A'=∠ A'CB=30°$，根据等角对等边，得$A'B=BC=1$。
所以$AA'=A'B + AB=1+2=3$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查旋转的性质、直角三角形的边角关系及等腰三角形的判定，解题关键是利用旋转前后的对应关系，结合共线条件分析角度，找到等腰三角形从而求出线段长度，需要学生具备一定的图形分析能力。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决这个问题，核心是利用正方形的边长相等特性，通过旋转将分散的线段PA、PB、PC集中到同一三角形中，再结合角度关系构造直角三角形，最终用勾股定理计算PC的长度。具体思路：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，把PA转化为新线段，PB旋转后形成等腰直角三角形，结合已知角度推导直角关系，进而求解PC。
【解析】
将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP'，根据旋转的性质：
1. 对应边相等：$BP = BP' = 2$，$P'C = PA = 1$；
2. 旋转角为90°，故$∠ PBP' = 90°$，因此△PBP'是等腰直角三角形，可得：
$PP' = \sqrt{BP^2 + BP'^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，且$∠ BP'P = 45°$；
已知$∠ APB = 135°$，由旋转性质得$∠ BP'C = ∠ APB = 135°$，因此：
$∠ PP'C = ∠ BP'C - ∠ BP'P = 135° - 45° = 90°$，即△PP'C是直角三角形；
根据勾股定理：$PC^2 = PP'^2 + P'C^2 = (2\sqrt{2})^2 + 1^2 = 8 + 1 = 9$，故$PC = 3$。
【答案】
3
【知识点】
正方形性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题通过旋转将正方形内分散的线段转化到直角三角形中，运用勾股定理求解，体现了几何变换的转化思想，是解决此类线段长度问题的典型方法。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决这个问题，需结合旋转的性质、勾股定理和余弦定理求解。首先利用旋转的性质得到对应边相等、旋转角为60°，再在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度，接着确定△ACD的两边及夹角，最后通过余弦定理计算AD的长度。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=2\sqrt{3}$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}$。
2. 根据旋转的性质，$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转$60°$得到$△ EDC$，因此：
$DC=BC=3$，$∠ BCD=60°$，且$∠ ACB=∠ ECD$。
3. 计算$∠ ACD$的余弦值：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos∠ ACB=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{21}}$，$\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}$，
则$\cos∠ ACD=\cos(∠ ACB+60°)=\cos∠ ACB·\cos60°-\sin∠ ACB·\sin60°$
$=\frac{3}{\sqrt{21}}×\frac{1}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2\sqrt{21}}-\frac{6}{2\sqrt{21}}=-\frac{3}{2\sqrt{21}}$。
4. 在$△ ACD$中，由余弦定理：
$AD^2=AC^2+DC^2-2· AC· DC·\cos∠ ACD$
$=(\sqrt{21})^2+3^2-2×\sqrt{21}×3×(-\frac{3}{2\sqrt{21}})$
$=21+9+9=39$，
因此$AD=\sqrt{39}$。
【答案】
$\sqrt{39}$
【知识点】
旋转的性质、勾股定理、余弦定理
【点评】
本题综合考查旋转的性质和解三角形的知识，核心是利用旋转得到边和角的关系，结合勾股定理与余弦定理完成计算，需准确梳理三角形的边角关系。
【难度系数】
0.5

【分析】首先根据已知线段长度求出正方形边长，再利用旋转性质得到全等三角形，结合等腰三角形三线合一推出AG垂直平分EF，进而得到EG=FG，最后设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求解。
【解析】连接EG。
∵ 四边形ABCD是正方形，BG=3，CG=2，
∴ BC=BG+CG=5，即正方形边长为5，故CD=5，∠C=90°。
由旋转性质：△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，得△ADE≌△ABF，
∴ AE=AF，DE=BF。
∵ AG⊥EF，AE=AF，
∴ H为EF中点，AG垂直平分EF，
∴ EG=FG。
设CE=x，则DE=CD - CE=5 - x，故BF=DE=5 - x，
∴ FG=BF + BG=(5 - x) + 3=8 - x，即EG=8 - x。
在Rt△CEG中，由勾股定理：CE² + CG² = EG²，
代入得：x² + 2² = (8 - x)²，
展开化简：x² + 4 = 64 - 16x + x²，
解得：16x=60，x=15/4。
【答案】15/4
【知识点】正方形性质、旋转的性质、勾股定理
【点评】本题是几何综合题，结合正方形、旋转、垂直平分线及勾股定理的知识，通过转化线段关系建立方程求解，考查学生的几何逻辑推理与计算能力。
【难度系数】0.5