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【分析】
1. 求反比例函数解析式：利用反比例函数上点的坐标满足$y=\frac{k}{x}$，代入已知点$M$求出$k$，再代入点$N$求出$N$的坐标；
2. 求一次函数解析式：用$M$、$N$两点坐标，通过待定系数法设一次函数解析式，列方程组求解；
3. 求$△ OMN$的面积：采用割补法，先找一次函数与坐标轴的交点$A$、$B$，将$△ OMN$的面积转化为$△ AOB$的面积减去$△ AON$和$△ BOM$的面积；
4. 求$PM+PN$最小时的$P$点：利用轴对称最短路径原理，作$M$关于$y$轴的对称点$M'$，连接$M'N$，其与$y$轴的交点即为$P$，再求直线$M'N$的解析式，令$x=0$得$P$坐标。
【解析】
(1) 因为点$M(\frac{1}{2},4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，所以$k=\frac{1}{2}×4=2$，故反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$；
点$N(n,1)$在$y=\frac{2}{x}$上，代入得$1=\frac{2}{n}$，解得$n=2$，即$N(2,1)$；
设一次函数解析式为$y=ax+b$，代入$M$、$N$得：
$\begin{cases}\frac{1}{2}a + b = 4 \\2a + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-2 \\b=5\end{cases}$，故一次函数解析式为$y=-2x+5$；
(2) 设一次函数$l$交$x$轴于$A$，交$y$轴于$B$：
令$y=0$，则$0=-2x+5$，得$x=\frac{5}{2}$，即$A(\frac{5}{2},0)$；
令$x=0$，则$y=5$，即$B(0,5)$；
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×5=\frac{25}{4}$；
$S_{△ AON}=\frac{1}{2}×OA×y_N=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1=\frac{5}{4}$；
$S_{△ BOM}=\frac{1}{2}×OB×x_M=\frac{1}{2}×5×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$；
所以$S_{△ OMN}=S_{△ AOB}-S_{△ AON}-S_{△ BOM}=\frac{25}{4}-\frac{5}{4}-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}$；
(3) 作点$M$关于$y$轴的对称点$M'$，则$M'(-\frac{1}{2},4)$，连接$M'N$，其与$y$轴交点即为$P$（此时$PM+PN$最小）；
设直线$M'N$的解析式为$y=mx+n$，代入$M'$、$N$得：
$\begin{cases}-\frac{1}{2}m + n =4 \\2m +n=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\frac{6}{5} \\n=\frac{17}{5}\end{cases}$，故直线$M'N$解析式为$y=-\frac{6}{5}x+\frac{17}{5}$；
令$x=0$，得$y=\frac{17}{5}$，即$P(0,\frac{17}{5})$；
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=\dfrac{2}{x}$，一次函数解析式为$y=-2x+5$；
(2) $△ OMN$的面积为$\dfrac{15}{4}$；
(3) 点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$；
【知识点】
反比例函数解析式，一次函数解析式，三角形面积，轴对称最短路径
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、割补法求三角形面积、利用轴对称求最短路径问题，解题思路清晰，步骤明确，属于常规综合题型，需掌握相关基础方法。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题分为两小问，第一问利用待定系数法，将交点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数，即可求出两个函数的解析式；第二问先根据一次函数平移规律得到平移后的直线解析式，联立平移后的直线与反比例函数，求出交点B、C的坐标，再通过作辅助线（过A作平行于y轴的直线交BC于T），将△ABC分割为两个同高的小三角形，计算面积和得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 把点$A(2,6)$代入一次函数$y=2x+b$，得$6=2×2+b$，解得$b=2$，因此一次函数的解析式为$y=2x+2$；
把点$A(2,6)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$6=\frac{m}{2}$，解得$m=12$，因此反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 将一次函数$y=2x+2$沿$y$轴向下平移12个单位，根据“上加下减”的平移规律，得平移后直线的解析式为$y=2x+2-12=2x-10$；
联立平移后的直线与反比例函数，得$\begin{cases}y=2x-10\\y=\frac{12}{x}\end{cases}$，消去$y$得$2x-10=\frac{12}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得$x^2-5x-6=0$，因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，解得$x=6$或$x=-1$；
对应$y$的值：当$x=6$时，$y=2$；当$x=-1$时，$y=-12$，因此$B(-1,-12)$，$C(6,2)$；
过点$A$作$AT// y$轴，交直线$BC$于点$T$，则$T$的横坐标与$A$相同为2，代入$y=2x-10$得$y=2×2-10=-6$，即$T(2,-6)$；
计算$AT$的长度：$AT=6-(-6)=12$；
△ABT的面积：$\frac{1}{2}×AT×[2-(-1)]=\frac{1}{2}×12×3=18$；
△ACT的面积：$\frac{1}{2}×AT×(6-2)=\frac{1}{2}×12×4=24$；
因此$S_{△ABC}=18+24=42$。
【答案】

(1) $\because$ 一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$,$\therefore 6=2×2+b$.$\therefore b=2$.$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=2x+2$.$\because$ 反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$,$\therefore 6=\frac{m}{2}$.$\therefore m=12$.$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$
(2) $\because$ 将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B$,$C$,$\therefore$ 直线$BC$对应的函数解析式为$y=2x+2-12=2x-10$.联立$\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=2.\end{cases}$ $\therefore B(-1,-12)$,$C(6,2)$.如图,过点$A$作$AT// y$轴,交直线$BC$于点$T$.$\because A(2,6)$,$\therefore$ 点$T$的横坐标为2.在$y=2x-10$中,当$x=2$时,$y=2×2-10=-6$.$\therefore T(2,-6)$.$\therefore AT=6-(-6)=12$.$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=18+24=42$
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数平移、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，核心考察待定系数法求函数解析式、直线平移规律以及割补法求三角形面积，将代数运算与几何图形结合，属于中档综合题，需要学生掌握函数交点与坐标的关系，以及面积的转化方法。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用反比例函数过点B求其解析式，再结合A点在反比例函数上确定A点坐标，最后用A、B两点求一次函数解析式；第(2)问需在y轴上找使△AOC为等腰三角形的点C，需分三种情况（OA=OC、AO=AC、CO=CA）讨论，结合坐标计算求解，注意排除重合的特殊情况。
【解析】
(1) 求函数解析式：
① 反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$过点$B(\frac{1}{3},-3)$，代入得：
$k_1=\frac{1}{3}×(-3)=-1$，故反比例函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$。
② 点$A(-1,a)$在反比例函数上，代入得$a=-\frac{1}{-1}=1$，即$A(-1,1)$。
③ 一次函数$y=k_2x+m$过$A(-1,1)$、$B(\frac{1}{3},-3)$，代入得方程组：
$\begin{cases}-k_2 + m =1 \\ \frac{1}{3}k_2 + m = -3\end{cases}$
两式相减消去m：$-k_2 - \frac{1}{3}k_2 = 4$，解得$k_2=-3$，代入$-(-3)+m=1$得$m=-2$，故一次函数解析式为$y=-3x-2$。
(2) 求y轴上的点C：
设$C(0,c)$，计算$OA=\sqrt{(-1)^2 +1^2}=\sqrt{2}$，分三种情况：
① 当$OA=OC$时，$OC=|c|=\sqrt{2}$，得$c=\sqrt{2}$或$c=-\sqrt{2}$，即$C(0,\sqrt{2})$或$(0,-\sqrt{2})$；
② 当$AO=AC$时，$AC=\sqrt{(-1)^2 + (1-c)^2}=\sqrt{2}$，平方得$1+(1-c)^2=2$，解得$c=0$（与O重合，舍去）或$c=2$，即$C(0,2)$；
③ 当$CO=CA$时，$|c|=\sqrt{(-1)^2 + (1-c)^2}$，平方得$c^2=1+(1-c)^2$，化简得$c=1$，即$C(0,1)$。
综上，点C的坐标为$(0,-\sqrt{2})$、$(0,\sqrt{2})$、$(0,2)$、$(0,1)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$，一次函数解析式为$y=-3x-2$；
(2) 点C的坐标为$(0,-\sqrt{2})$、$(0,\sqrt{2})$、$(0,2)$、$(0,1)$。
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数解析式、等腰三角形分类讨论
【点评】
本题结合反比例函数与一次函数的交点问题，考查函数解析式的求解，同时通过等腰三角形的存在性问题渗透分类讨论思想，需全面考虑三种等腰情况，避免漏解，是函数与几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.5