解：
(1) $\because$ 点$A,B$的坐标分别为$(-3,0),(0,4)，$
$\therefore OA=3，$$OB=4，$
$\therefore AB=\sqrt{3^2+4^2}=5。$
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore BC // AD，$$BC=AB=5，$
$\therefore C(5,4)。$
(2) 点$C$在这条抛物线上，理由如下：
把$A(-3,0),B(0,4)$代入$y=-\frac{1}{6}x^2 + bx + c，$得
$\begin{cases}\frac{3}{2} - 3b + c = 0 \\ c = 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=\frac{5}{6} \\ c=4 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 4。$
当$x=5$时，$y=-\frac{1}{6} × 5^2 + \frac{5}{6} × 5 + 4 = 4，$
$\therefore$ 点$C$在这条抛物线上。
解：
$\because$ 抛物线的顶点在正方形$ABCD$的内部（包括边上），
结合题图，可得当抛物线的顶点在点$D$处时，开口最小，$a$最小；当抛物线的顶点在点$B$处时，开口最大，$a$最大。
$\because A(0,1),B(1,1)，$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD=AB=1，$$\therefore D(0,2)。$
当抛物线的顶点与点$D$重合，即顶点坐标为$(0,2)$时，抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2 + 2。$
$\because$ 抛物线过点$M(-1,0)，$
$\therefore 0=a + 2，$解得$a=-2。$
当抛物线的顶点与点$B$重合，即顶点坐标为$(1,1)$时，抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2 + 1。$
$\because$ 抛物线过点$M(-1,0)，$
$\therefore 0=4a + 1，$解得$a=-\frac{1}{4}。$
$\therefore a$的取值范围是$-2 ≤ a ≤ -\frac{1}{4}。$
【分析】
要解决本题，需先利用菱形的性质和已知角度求出抛物线上三个点的坐标，再代入抛物线解析式求解参数a。首先根据菱形边长确定A点坐标，结合∠AOC=120°求出C点坐标，最后将三点坐标代入抛物线解析式联立计算即可。
【解析】
1. 确定各点坐标：
菱形OABC边长为2，O为原点(0,0)，A在x轴上，故A点坐标为(2,0)；
已知∠AOC=120°，OC=2，过C作x轴垂线，可得C点横坐标为$-OC·\cos60°=-2×\frac{1}{2}=-1$，纵坐标为$OC·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即C(-1,√3)。
2. 代入抛物线解析式计算：
抛物线$y=ax^2+bx$过A(2,0)，代入得：$0=a·2^2 + b·2$，化简得$2a + b=0$，即$b=-2a$；
再将C(-1,√3)和$b=-2a$代入抛物线得：$\sqrt{3}=a·(-1)^2 + (-2a)·(-1)$，即$\sqrt{3}=a + 2a$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数解析式，菱形性质，坐标与图形
【点评】
本题结合菱形性质与二次函数，核心是利用几何特征确定抛物线上点的坐标，再通过待定系数法求解参数，需掌握菱形的坐标计算和二次函数代入法，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这道题，分两步思考：第一步，求点C的坐标，需先利用A、B的坐标，通过勾股定理算出AB的长度，再根据菱形“对边平行且相等”的性质，确定BC的长度和方向，进而得到点C的坐标；第二步，判断点C是否在抛物线上，需用待定系数法求出抛物线的解析式，再将点C的横坐标代入解析式，计算对应的纵坐标，与点C的实际纵坐标对比，即可得出结论。
【解析】
(1) 已知点A(-3,0)，B(0,4)，则OA=3，OB=4，由勾股定理得：
AB = √(OA² + OB²) = √(3² + 4²) = 5。
因为四边形ABCD是菱形，所以BC = AB = 5，且BC//AD（AD在x轴上），因此BC平行于x轴，点C的纵坐标与点B相同，为4，横坐标为0 + 5 = 5，故点C的坐标为(5,4)。
(2) 将A(-3,0)、B(0,4)代入抛物线$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + bx + c$，得方程组：
$\begin{cases} -\dfrac{1}{6}×(-3)^2 + b×(-3) + c = 0 \\ c = 4 \end{cases}$
化简第一个方程：$-\dfrac{3}{2} - 3b + c = 0$，把c=4代入，解得：
$-\dfrac{3}{2} - 3b + 4 = 0 → \dfrac{5}{2} = 3b → b = \dfrac{5}{6}$。
所以抛物线的解析式为$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{5}{6}x + 4$。
当x=5时，代入解析式得：
$y = -\dfrac{1}{6}×5^2 + \dfrac{5}{6}×5 + 4 = -\dfrac{25}{6} + \dfrac{25}{6} + 4 = 4$，与点C的纵坐标相等，因此点C在这条抛物线上。
【答案】
(1) 点C的坐标为(5,4)；(2) 点C在这条抛物线上。
【知识点】
菱形的性质，二次函数解析式的确定，二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题综合考查菱形性质与二次函数的应用，解题关键是利用菱形对边相等平行的性质求点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式，属于中等难度的基础综合题，需掌握相关几何与代数的基本方法。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，需结合抛物线的对称性和正方形的性质推导点的坐标关系，再代入抛物线解析式计算。首先，抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，顶点B在y轴上；四边形ABCO是正方形，A、C关于y轴对称，利用正方形边长相等、垂直的性质确定A点坐标与参数$a、c$的关系，最终代入抛物线解析式求出$ac$的值。
【解析】
1. 确定顶点坐标：抛物线$y=ax^2+c$的顶点在y轴上，故顶点$B(0,c)$，由图知$c＜0$。
2. 利用正方形性质推导坐标关系：因四边形ABCO是正方形，且抛物线关于y轴对称，设$A(-m,n)(m＞0,n＜0)$，则$C(m,n)$。
由$OA⊥ AB$，向量$\overrightarrow{OA}=(-m,n)$，$\overrightarrow{AB}=(m,c-n)$，点积为0得：$-m^2 +n(c-n)=0$，即$m^2=nc-n^2$；
由$OA=AB$，边长平方相等得：$m^2+n^2=m^2+(c-n)^2$，化简得$n=\frac{c}{2}$（$c≠0$）。
3. 计算$m^2$：将$n=\frac{c}{2}$代入$m^2=nc-n^2$，得$m^2=\frac{c^2}{4}$，故$m=-\frac{c}{2}$（$m＞0,c＜0$）。
4. 代入抛物线解析式：A点$(-m,n)$在抛物线上，代入$y=ax^2+c$得：
$\frac{c}{2}=a·\frac{c^2}{4}+c$，移项化简：$-\frac{c}{2}=\frac{ac^2}{4}$，两边除以$c$（$c≠0$）得$ac=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数解析式、正方形性质
【点评】
本题结合二次函数与正方形的性质，核心是利用对称性和正方形的几何特征建立坐标关系，考查数形结合思想，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，需先确定正方形ABCD各顶点坐标，再利用抛物线的顶点式结合已知点M(-1,0)，根据抛物线顶点在正方形内部（含边界）的条件，找到顶点在正方形边界时对应的a值，进而确定a的取值范围。首先，由A(0,1)、B(1,1)及正方形边长为1，可得D(0,2)、C(1,2)，明确正方形顶点的横纵坐标范围；再结合抛物线过M(-1,0)，用顶点式建立参数关系，分析顶点在正方形边界时的a的最值，从而得到a的范围。
【解析】
1. 确定正方形ABCD的顶点坐标：
已知A(0,1)、B(1,1)，正方形边长为1，因此D点坐标为(0,2)，C点坐标为(1,2)，即正方形ABCD的顶点范围为：顶点的横坐标$ h∈[0,1] $，纵坐标$ k∈[1,2] $。
2. 设抛物线的顶点式：
抛物线的顶点式为$ y=a(x-h)^2 + k $，其中(h,k)为顶点坐标，且抛物线过点M(-1,0)，将M(-1,0)代入顶点式得：
$ 0 = a(-1 - h)^2 + k $，整理得$ k = -a(1+h)^2 $。
3. 分析a的最值：
因为抛物线顶点在正方形内部（含边界），所以$ 1 ≤ k ≤ 2 $，且抛物线开口向下，故$ a ＜ 0 $，即$ -a ＞ 0 $。
当顶点在D(0,2)时，$ h=0 $，$ k=2 $，代入$ k = -a(1+h)^2 $得：$ 2 = -a(1+0)^2 $，解得$ a = -2 $；
当顶点在B(1,1)时，$ h=1 $，$ k=1 $，代入$ k = -a(1+h)^2 $得：$ 1 = -a(1+1)^2 $，即$ 1 = -4a $，解得$ a = -\frac{1}{4} $。
因此，a的取值范围是$ -2 ≤ a ≤ -\frac{1}{4} $。
【答案】
$ -2 ≤ a ≤ -\frac{1}{4} $
【知识点】
二次函数顶点式、正方形坐标、二次函数性质
【点评】
本题结合正方形的坐标特征与二次函数的顶点式，考查参数范围的求解，关键是确定抛物线顶点在正方形边界时的特殊情况，进而求出a的最值，属于中等难度的二次函数应用问题。
【难度系数】
0.3
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