第19页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

1.5

2

$-10x^2 +45x$

 解：依题意，得$25×20 - (-10x^2 +45x) - (5x)^2 = 440，$

 整理，得$x^2 + 3x -4 = 0，$

 解得$x_1 = 1，$$x_2 = -4$（不合题意，舍去）。

 ∴此时小路的宽度为$1\ \mathrm{m}。$

 解：以$CB$为$x$轴，$CA$为$y$轴，建立平面直角坐标系，

 则点$B$的坐标为$(8,0)，$点$A$的坐标为$(0,6)。$

 ∵$P$是$AB$的中点，

 ∴点$P$的坐标为$(4,3)。$

 设点$M$的运动时间为$t$（$0≤ t≤3$）$\mathrm{s}，$

 则点$N$的坐标为$(2t, 0)，$点$M$的坐标为$(0, 6-2t)。$

 ∵$Q$是$MN$的中点，

 ∴点$Q$的坐标为$(t, 3 - t)。$

 根据题意，得

 $PQ = \sqrt{(4-t)^2 + [3-(3-t)]^2} = 2\sqrt{3}，$

 整理，得$t^2 -4t +2 = 0，$

 解得$t_1 = 2-\sqrt{2}，$$t_2 = 2+\sqrt{2}$（不合题意，舍去）。

 ∴点$M$的运动时间为$(2-\sqrt{2})\ \mathrm{s}。$

【分析】
首先设垂钓通道的宽度为$ x $米，观察图形可知：垂直方向（宽）需减去上下各1条通道，因此鱼塘的宽为$ (60 - 2x) $米；水平方向（长）需减去左右2条通道和中间1条通道，共3条通道，因此两块鱼塘的总长度对应$ (130 - 3x) $米。结合两块鱼塘面积之和为$ 5750\ \mathrm{m}^2 $的条件，列出一元二次方程，再根据实际意义筛选合理的解。
【解析】
设垂钓通道的宽度为$ x $米。
根据题意，两块鱼塘的面积之和可表示为：
$(130 - 3x)(60 - 2x) = 5750$
展开并整理方程：
$7800 - 260x - 180x + 6x^2 = 5750 \\6x^2 - 440x + 2050 = 0 \\3x^2 - 220x + 1025 = 0$
用一元二次方程求根公式$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $（其中$ a=3 $，$ b=-220 $，$ c=1025 $），计算判别式：
$\Delta = (-220)^2 - 4 × 3 × 1025 = 48400 - 12300 = 36100 = 190^2$
解得：
$x = \frac{220 \pm 190}{6}$
得到两个解：$ x_1 = \frac{410}{6} \approx 68.3 $（此时鱼塘宽度$ 60 - 2x ＜ 0 $，不符合实际，舍去），$ x_2 = \frac{30}{6} = 5 $。
因此，垂钓通道的宽度为5米。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，核心是根据图形正确表示鱼塘的长和宽，找到面积等量关系，需注意解的实际合理性，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】首先设矩形窗户的宽AB为$ b $米，窗户的水平长度为$ a $米。需先分析窗框的铝合金条总长度：水平方向有3条边，每条长度为$ a $；垂直方向有2条长为$ b $的边和1条长0.5m的中间竖边，结合铝合金总长度9.5m得到第一个方程；再根据透光面积为$ 3\ \mathrm{m}^2 $，利用矩形面积公式得到第二个方程，联立方程求解后，结合墙高2.8m舍去不符合实际的解，即可得到AB的长度。
【解析】设AB的长度为$ b $米，窗户的水平长度为$ a $米。
根据题意：
1. 铝合金条总长度：水平方向共3条边，总长度为$ 3a $；垂直方向共2条长为$ b $的边和1条长0.5m的中间竖边，总长度为$ 2b + 0.5 $，因此：
$ 3a + 2b + 0.5 = 9.5 $，化简得$ 3a + 2b = 9 $；
2. 透光面积：矩形面积为长×宽，即$ ab = 3 $。
联立方程组：
$\begin{cases}3a + 2b = 9 \\ ab = 3 \end{cases}$
由$ 3a + 2b =9 $得$ a=\frac{9-2b}{3} $，代入$ ab=3 $：
$ b·\frac{9-2b}{3}=3 $，两边乘3得$ 9b -2b^2=9 $，整理为$ 2b^2 -9b +9=0 $，
因式分解得$ (2b-3)(b-3)=0 $，解得$ b=1.5 $或$ b=3 $。
因墙高为2.8m，$ b=3＞2.8 $不符合实际，舍去，故$ b=1.5 $。
【答案】1.5
【知识点】一元二次方程应用、矩形面积、周长计算
【点评】本题结合实际窗框结构，考查一元二次方程的应用，关键是准确分析各边长度建立方程，需注意结合实际意义舍去不合理解，属于中等难度的实际应用题。
【难度系数】0.5

【分析】
设出发后$ t $秒时，线段$ PQ $的长为$ 5\ \mathrm{s} $。根据点$ P $、$ Q $的移动速度，分别表示出直角三角形$ △ PBQ $的两条直角边长度：点$ P $从$ A $向$ B $移动，速度为$ 1\ \mathrm{cm/s} $，故$ AP = t\ \mathrm{cm} $，则$ BP = AB - AP = (5 - t)\ \mathrm{cm} $；点$ Q $从$ B $向$ C $移动，速度为$ 2\ \mathrm{cm/s} $，故$ BQ = 2t\ \mathrm{cm} $。由于$ ∠ ABC = 90° $，$ △ PBQ $是直角三角形，根据勾股定理可列出关于$ t $的方程，求解后结合实际意义舍去不合理的解即可。
【解析】
设出发后$ t $秒时，线段$ PQ $的长为$ 5\ \mathrm{cm} $。
由题意得：$ AP = t\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 2t\ \mathrm{cm} $，
因为$ AB = 5\ \mathrm{cm} $，所以$ BP = AB - AP = (5 - t)\ \mathrm{cm} $。
又因为$ ∠ ABC = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ PBQ $中，根据勾股定理：
$ BP^2 + BQ^2 = PQ^2 $，
代入已知数值：$ (5 - t)^2 + (2t)^2 = 5^2 $，
展开并整理方程：
$ 25 - 10t + t^2 + 4t^2 = 25 $，
$ 5t^2 - 10t = 0 $，
$ 5t(t - 2) = 0 $，
解得$ t_1 = 0 $，$ t_2 = 2 $。
其中$ t = 0 $是出发初始时刻，不符合题意，舍去；当$ t = 2 $时，$ BP = 3\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 4\ \mathrm{cm} $，$ PQ = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{cm} $，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理、动点问题
【点评】
本题是直角三角形背景下的动点问题，核心是利用勾股定理建立方程求解，需注意舍去不符合实际意义的解，考查学生对勾股定理的应用能力和动点问题的分析能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.3

【分析】
首先明确小路宽度为$x\ \mathrm{m}$，亭子边长为$5x\ \mathrm{m}$。第(1)问求小路面积，需将十字形小路拆分为横向和纵向两部分，分别计算面积后求和；第(2)问利用“花园总面积 = 小路面积 + 亭子面积 + 草坪面积”的关系，列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
(1) 已知小路宽度为$x\ \mathrm{m}$，则亭子边长为$5x\ \mathrm{m}$。
十字形小路可分为横向和纵向两部分，横向小路的长度为$(25 - 5x)\ \mathrm{m}$，纵向小路的长度为$(20 - 5x)\ \mathrm{m}$，因此小路面积为：
$(25 - 5x)x + (20 - 5x)x = 25x - 5x^2 + 20x - 5x^2 = -10x^2 + 45x\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 花园总面积为$25×20 = 500\ (\mathrm{m}^2)$，亭子面积为$(5x)^2 = 25x^2\ (\mathrm{m}^2)$，草坪面积为$440\ \mathrm{m}^2$，根据面积关系列方程：
$500 - (-10x^2 + 45x) - 25x^2 = 440$
整理方程：
$500 + 10x^2 - 45x - 25x^2 = 440 \\-15x^2 - 45x + 60 = 0 \x^2 + 3x - 4 = 0$
因式分解得$(x + 4)(x - 1) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -4$。因为小路宽度不能为负数，舍去$x = -4$，故小路宽度为$1\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $-10x^2 + 45x$；(2) $1\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式、一元二次方程的应用
【点评】
本题结合矩形花园与十字形小路的实际场景，考查代数式的表示和一元二次方程的应用，关键是理清各部分面积的关系，求解时需检验解的实际意义，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是直角三角形背景下的动点问题，首先以直角顶点C为原点建立平面直角坐标系，将几何点坐标化；利用中点坐标公式求出AB中点P的坐标；设运动时间为t秒，根据M、N的运动速度和方向写出两点坐标，再由中点坐标公式得到Q点坐标；最后根据两点间距离公式，结合PQ的长度列出关于t的方程，解方程后根据时间取值范围舍去不符合的解，即可得到结果。
【解析】
解：以点C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴A(0,6)，B(8,0)。
∵P是AB中点，根据中点坐标公式，得P((0+8)/2, (6+0)/2)=(4,3)。
设点M的运动时间为t s，由题意，M的运动时间范围为0≤t≤3（M到达C点的时间为6÷2=3s，N到达B点的时间为8÷2=4s，取较小值），则：
点M坐标为(0, 6-2t)，点N坐标为(2t, 0)。
∵Q是MN中点，根据中点坐标公式，得Q((0+2t)/2, (6-2t+0)/2)=(t, 3-t)。
根据两点间距离公式，PQ的长度为：
PQ=√[(4-t)² + (3-(3-t))²] = √[(4-t)² + t²]
由PQ=2√3 cm，得：
√[(4-t)² + t²] = 2√3
两边平方，整理得：t² -4t +2=0
解得：t₁=2-√2，t₂=2+√2
∵0≤t≤3，t₂=2+√2≈3.414＞3，舍去，故t=2-√2。
【答案】
点M的运动时间为(2-√2)s

【知识点】
平面直角坐标系，两点间距离公式，一元二次方程
【点评】
本题通过建立平面直角坐标系将几何动点问题转化为代数计算，思路清晰，关键是准确表示各动点坐标并利用公式列方程，需注意解的实际意义，舍去超出时间范围的解，属于中等难度的动点问题。
【难度系数】
0.6