第5页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

C

1

 解：

 (1) 由题意，得$x(\frac{20}{2}-x)=24，$整理得$x^2 -10x +24=0。$

 (2) 由题意，得$a(a-3)=60，$整理得$a^2 -3a -60=0。$

 解：

 (1) 一元二次方程$3x^2 -4x -7=0$是“凤凰方程”，理由如下：

 由题可得$a=3，$$b=-4，$$c=-7，$

 $\therefore a-b+c=3 - (-4) + (-7)=0，$

 $\therefore$ 一元二次方程$3x^2 -4x -7=0$是“凤凰方程”。

 (2) $\because 2x^2 -mx +5=0$是关于$x$的“凤凰方程”，

 $\therefore 2 - (-m) +5=0，$

 解得$m=-7。$

$y_1=4,y_2=-4$

 解：由题意，得$a^2 -2027a +1=0，$

 $\therefore a≠0，$$a^2=2027a -1，$$a^2 +1=2027a，$

 $\therefore a^2 -2026a +\frac{2027}{a^2 +1}$

 $=2027a -1 -2026a +\frac{2027}{2027a}$

 $=a -1 +\frac{1}{a}$

 $=\frac{a^2 +1}{a} -1$

 $=\frac{2027a}{a} -1$

 $=2027 -1$

 $=2026。$

【分析】要解决本题，需先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再结合两个关键条件：一是“不含一次项”即一次项系数为0，二是“一元二次方程”要求二次项系数不为0，排除不符合的m值，最终确定答案。
【解析】首先把原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$(m-3)x^2 + m^2x -9x -51 = 0$，
合并同类项得：$(m-3)x^2 + (m^2 -9)x -51 = 0$。
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$。
又因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，即$m^2 -9 = 0$，解得$m = ±3$。
结合$m ≠ 3$，可得$m = -3$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义
【点评】本题为易错题，学生易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅由一次项系数为0解得$m=±3$，误选B，需牢记一元二次方程的定义，确保二次项系数非零。
【难度系数】0.4

【分析】
要解决本题，需先掌握一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），题目要求$a＞0$，因此需将原方程的所有项移到等号左侧，整理为标准形式后，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项。
【解析】
1. 移项：将方程$5x^2 = 6x - 8$右边的项移到左边，移项时符号改变，得到$5x^2 - 6x + 8 = 0$；
2. 确定系数：对比一般形式$ax^2 + bx + c = 0$，此时$a=5$（满足$a＞0$），二次项系数为5；一次项为$-6x$，一次项系数为$-6$；常数项为8。因此对应系数为5，-6，8，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式
【点评】
本题为一元二次方程基础题型，核心是掌握一般形式的转化及移项变号规则，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题的解题思路是利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到m与n的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值。首先，因为x=1是方程的根，把x=1代入方程可得到m和n的等式；然后观察所求代数式，将其变形为含m+2n的形式，再代入已得的关系式即可求出结果。
【解析】
把x=1代入一元二次方程$mx^{2}+2nx-1=0(m≠0)$，得：
$m×1^{2} + 2n×1 -1 = 0$，
整理得：$m + 2n = 1$。
对$3 - 2m - 4n$变形可得：
$3 - 2m - 4n = 3 - 2(m + 2n)$，
将$m + 2n = 1$代入上式：
$3 - 2×1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值（整体代入）
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程根的定义建立m、n的关系，再通过整体代入简化计算，无需单独求解m、n的值，降低了计算难度，适合巩固一元二次方程根的概念和代数式求值的方法。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题需根据实际问题的等量关系列出方程，再整理为一元二次方程的一般形式（$ax^2+bx+c=0$，$a≠0$）。
(1) 矩形问题中，已知长为$x$，周长20，先求宽为周长一半减长，再用面积公式列方程；
(2) 正方形锯掉矩形问题中，设原边长为$a$，确定剩余矩形的长和宽，再用面积公式列方程。
【解析】
(1) 设矩形的长为$x$，矩形周长为20，则宽为$\frac{20}{2}-x=10-x$。根据矩形面积公式：长×宽=面积，得方程：
$x(10 - x) = 24$
整理为一元二次方程一般形式：
$10x - x^2 = 24$，移项得$x^2 - 10x + 24 = 0$。
(2) 设原来正方形木板的边长为$a\ \mathrm{dm}$，锯掉宽3dm的矩形后，剩余矩形的长为$a\ \mathrm{dm}$，宽为$(a - 3)\ \mathrm{dm}$。根据剩余矩形面积为$60\ \mathrm{dm}^2$，得方程：
$a(a - 3) = 60$
整理为一元二次方程一般形式：
$a^2 - 3a = 60$，移项得$a^2 - 3a - 60 = 0$。
【答案】
(1) 方程为$x(\dfrac{20}{2}-x)=24$，一般形式为$x^2 - 10x + 24 = 0$；
(2) 方程为$a(a - 3)=60$，一般形式为$a^2 - 3a - 60 = 0$。
【知识点】
列一元二次方程、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础实际应用问题，核心是从实际情境中提取等量关系，列出方程并化为一元二次方程一般形式，考查学生对一元二次方程概念的理解与基础应用能力，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】首先明确“凤凰方程”的定义：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$，则该方程为凤凰方程。解题思路：（1）先确定待判断方程的$a、b、c$的值，代入$a-b+c$计算，若结果为0，则是凤凰方程；（2）根据凤凰方程的定义，将已知凤凰方程的$a、b、c$代入$a-b+c=0$，解关于$m$的方程即可得到$m$的值。
【解析】
（1）对于一元二次方程$3x^2 -4x -7=0$，其中$a=3$，$b=-4$，$c=-7$。
计算$a-b+c$：$3 - (-4) + (-7)=3+4-7=0$，满足“凤凰方程”的定义，因此该方程是凤凰方程。
（2）已知$2x^2 -mx +5=0$是凤凰方程，其中$a=2$，$b=-m$，$c=5$。
根据定义得：$a - b + c = 0$，即$2 - (-m) +5=0$，化简得$2 + m +5=0$，解得$m=-7$。
【答案】(1) 一元二次方程$3x^2 -4x -7=0$是“凤凰方程”，理由：由题意得$a=3,b=-4,c=-7$，$\therefore a-b+c=3-(-4)+(-7)=0$，故该方程是“凤凰方程”；(2) $m=-7$
【知识点】新定义运算，一元二次方程的系数，一元一次方程求解
【点评】本题属于新定义类题型，核心是准确理解“凤凰方程”的定义，将新定义转化为代数运算，考查学生对新信息的处理能力和基本代数计算能力，难度适中。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决本题，需分三步思考：1. 根据二次根式有意义的条件，确定a的取值，进而求出b的值；2. 利用一元二次方程根的定义，将根x=-1代入方程ax² -bx +c=0，求出c的值；3. 将c代入关于y的方程，解该方程得到y的解。
【解析】
1. 求a、b的值：
二次根式中被开方数非负，故$\begin{cases}a - 3 ≥ 0 \\ 3 - a ≥ 0\end{cases}$，解得$a=3$。
将$a=3$代入$b=\sqrt{a - 3} + \sqrt{3 - a} - 2$，得$b=\sqrt{0} + \sqrt{0} -2 = -2$。
2. 求c的值：
因为$x=-1$是方程$ax^2 -bx +c=0$的根，代入得：
$a·(-1)^2 - b·(-1) + c = 0$，即$a + b + c = 0$。
将$a=3$，$b=-2$代入上式，得$3 + (-2) + c =0$，解得$c=-1$。
3. 解关于y的方程：
将$c=-1$代入方程$\frac{1}{16}y^2 + c =0$，得：
$\frac{1}{16}y^2 -1 =0$，
移项得$\frac{1}{16}y^2 =1$，
两边同乘16得$y^2=16$，
解得$y_1=4$，$y_2=-4$。
【答案】
$y_1=4,y_2=-4$
【知识点】
二次根式的性质、一元二次方程的根、解一元二次方程
【点评】
本题为教材变式题，综合考查二次根式有意义的条件、一元二次方程根的定义及一元二次方程的解法，解题步骤清晰，需先根据二次根式的非负性确定参数值，再利用根的定义求未知系数，最后解方程，难度适中，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，核心是利用“a是一元二次方程的根”的条件，通过对等式变形得到相关表达式，采用整体代换简化计算，避免直接求解方程的根。具体思路：先将a代入方程得到关于a的等式，变形得到a²、a²+1的表达式，以及a与1/a的关系，再将这些代入目标代数式化简求值。
【解析】
解：
∵实数a是一元二次方程$x^2 -2027x +1=0$的根，
∴将a代入方程得：$a^2 -2027a +1=0$，
显然$a≠0$（若$a=0$，代入方程左边得$1≠0$，矛盾），
对等式变形：
① 移项得：$a^2=2027a -1$，$a^2 +1=2027a$；
② 两边同除以a得：$a -2027 + \frac{1}{a}=0$，即$a + \frac{1}{a}=2027$；
将上述结果代入代数式：
$a^2 -2026a + \frac{2027}{a^2 +1}$
$=(2027a -1) -2026a + \frac{2027}{2027a}$
$=a -1 + \frac{1}{a}$
$=(a + \frac{1}{a}) -1$
$=2027 -1$
$=2026$
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程的根，代数式化简求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质及代数式的整体代换，核心是利用方程根的等式变形得到相关表达式，通过整体代入简化计算，体现了代数中的整体思想，是代数运算的常用技巧。
【难度系数】
0.5