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第17页

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证明：$(1)$连接$DF$。

$ $因为$AD$为$\odot O$的直径，

所以$∠ AFD=90°$。

$ $因为四边形$ABCD$为菱形，

所以$AD// BC$，$AD=CD=AB=BC$，$∠ A=∠ C$。

$ $因为$BE=BF$，

所以$BC-BE=AB-BF$，

即$CE=AF$。

$ $在$△ CDE$和$△ ADF_{中}$，

$ \begin {cases}\ \mathrm {CD}=AD \\∠ C=∠ A \\CE=AF \end {cases}$

$ $所以$△ CDE≌△ ADF$，

因此$∠ CED=∠ AFD=90°$，

即$DE⊥ BC$。

$ $因为$AD// BC$，

所以$DE⊥ AD$，

又$OD$是$\odot O$的半径，

因此$DE$为$\odot O$的切线。

$ (2) $连接$AH$。

$ $因为$AD$为$\odot O$的直径，

所以$∠ AHD=90°$，即$AH⊥ BD$。

$ $又$AB=AD$，

所以$DH=\frac {1}{2}BD$，

已知$DH=\sqrt {5}$，因此$BD=2\sqrt {5}$。

$ $在$Rt△ BFD$中，$∠ BFD=180°-∠ AFD=90°$，$BF=2$，

$ $所以$DF=\sqrt {BD^2-BF^2}=\sqrt {(2\sqrt {5})^2-2^2}=4$。

$ $设$\odot O$的半径为$r$，

则$AD=AB=2r$，$AF=AB-BF=2r-2$。

$ $在$Rt△ AFD$中，$AF^2+DF^2=AD^2$，

即$(2r-2)^2+4^2=(2r)^2$，

$ $解得$r=\frac {5}{2}$。

$ $故$\odot O$的半径为$\frac {5}{2}$。

解：$(1)AB=AC$，理由如下：

$ $因为$AB$与$\odot O$相切于点$B$，

所以$OB⊥ AB$，

即$∠ OBA=90°$，

因此$∠ OBP+∠ ABC=90°$。

$ $因为$OA⊥ AC$，

所以$∠ OAC=90°$，即$∠ APC+∠ ACB=90°$。

$ $又$OP=OB$，

所以$∠ OBP=∠ OPB$，

而$∠ OPB=∠ APC$，

因此$∠ OBP=∠ APC$，

$ $可得$∠ ACB=∠ ABC$，所以$AB=AC$。

$ (2) $设$\odot O$的半径为$x$，则$OP=OB=x$。

$ $已知$OA=5$，

所以$AP=OA-OP=5-x$。

$ $在$Rt△ OAB$中，$AB^2=OA^2-OB^2=25-x^2$。

$ $在$Rt△ PAC$中，$PC=2\sqrt {5}$，

所以$AC^2=PC^2-AP^2=(2\sqrt {5})^2-(5-x)^2$

$=-x^2+10x-5$。

$ $由$AB=AC$得$AB^2=AC^2$，

即$25-x^2=-x^2+10x-5$，

解得$x=3$。

$ $故$\odot O$的半径为$3$。

$ (3) $作线段$AC$的垂直平分线$MN$，过点$O$作$OE⊥ MN$于

点$E$，

$ $则$OE=\frac {1}{2}AC=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}\sqrt {5^2-r^2}$。

$ $要使$\odot O$上存在点$Q $满足题意，需$OE≤ r$，

即$\frac {1}{2}\sqrt {25-r^2}≤ r$，解得$r≥\sqrt {5}$。

$ $又$\odot O$与直线$l$相离，$OA=5$，

因此$r＜5$。

$ $故$\odot O$的半径$r$的取值范围为$\sqrt {5}≤ r＜5$。