第16页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

解：$(1)$连接$OC$，$OD$。

$ $因为$M$是$CD$的中点，$CD=12$，

所以$CM=\frac {1}{2}CD=6$。

$ $又$OC=OD$，

所以$OM⊥ CD$，即$∠ OMC=90°$。

$ $在$Rt△ OMC$中，$OC=\sqrt {OM^2+CM^2}=\sqrt {3^2+6^2}=3\sqrt {5}$。

$ $故$\odot O$的半径为$3\sqrt {5}$。

$ (2) $证明：连接$AC$，延长$AF_{交}BD$于点$G$。

$ $因为$AB⊥ CD$，$CE=EF$，

所以$AB$垂直平分$CF$，

因此$AC=AF$，可得$∠ CAE=∠ FAE$。

$ $由圆周角定理得$∠ BDC=∠ CAE$，

因此$∠ BDC=∠ FAE$。

$ $在$△ DFG $和$△ AFE$中，$∠ BDC+∠ DFG+∠ DGF=180°$，

$∠ FAE+∠ AFE+∠ AEF=180°$，

$ $又$∠ DFG=∠ AFE$，$∠ AEF=90°$，

因此$∠ DGF=∠ AEF=90°$，

即$AF⊥ BD$。

证明：$(1)$连接$OD$。

$ $因为$CD=AC$，

所以$∠ A=∠ ADC$。

$ $又$OB=OD$，

所以$∠ B=∠ ODB$。

$ $因为$∠ ACB=90°$，

所以$∠ A+∠ B=90°$，

因此$∠ ADC+∠ ODB=90°$，

$ $可得$∠ ODC=180°-(∠ ADC+∠ ODB)=90°$，

即$OD⊥ CD$。

$ $又$OD$是$\odot O$的半径，

因此$CD$为$\odot O$的切线。

$ (2) $因为$∠ ACB=90°$，$∠ A=60°$，

所以$∠ B=90°-∠ A=30°$。

$ $因为$CD=AC$，

所以$△ ACD$为等边三角形，$∠ ACD=60°$，$CD=AC=2\sqrt {3}$，

$ $因此$∠ OCD=∠ ACB-∠ ACD=30°$，可得$OD=\frac {1}{2}OC$。

$ $设$OB=OD=x$，则$OC=2x$，

在$Rt△ OCD$中，$CD=\sqrt {OC^2-OD^2}=\sqrt {3}x$，

$ $即$\sqrt {3}x=2\sqrt {3}$，

解得$x=2$，即$OB=OD=2$。

$ $因为$∠ COD=2∠ B=60°$，

所以$∠ BOD=180°-∠ COD=120°$，

$ $因此$\overset {\frown }{BD}$的长为$\frac {120π×2}{180}=\frac {4π}{3}$。

证明：$(1)$因为$AB$是$\odot O$的直径，

所以$∠ ACB=90°$，

即$∠ OCB+∠ ACO=90°$。

$ $因为$CP $是$\odot O$的切线，

所以$OC⊥ CP$，

即$∠ OCP=90°$，$∠ OCB+∠ BCP=90°$，

$ $因此$∠ ACO=∠ BCP$。

$ (2)$因为$OA=OC$，

所以$∠ OAC=∠ ACO$，

结合$ (1)$得$∠ OAC=∠ BCP$。

$ $已知$∠ ABC=2∠ BCP$，

因此$∠ ABC=2∠ OAC$。

$ $在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，

所以$∠ ABC+∠ OAC=90°$，

$ $即$3∠ OAC=90°$，解得$∠ OAC=30°$，

因此$∠ BOC=2∠ OAC=60°$。

$ $在$Rt△ OCP_{中}$，$∠ OCP=90°$，

所以$∠ P=90°-∠ BOC=30°$。

$ (3) $因为$AB=4$，

所以$OA=OB=2$。

$ $在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=30°$，

所以$BC=\frac {1}{2}AB=2$，$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=2\sqrt {3}$，

$ $因此$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}· AC· BC=2\sqrt {3}$，

半圆的面积$S_{半圆}=\frac {1}{2}π· OA^2=2π$。

$ $阴影部分面积$S_{阴影}=S_{半圆}-S_{△ ABC}=2π-2\sqrt {3}$。