解：$ (1) $设车棚的宽为$x\ \mathrm {m}$，
则车棚平行于墙的长为$55-3x+2=(57-3x)\ \mathrm {m}$。
$ $由题意得$x(57-3x)=270$，
$ $整理得$x^2-19x+90=0$，
$ $解得$x_1=9$，$x_2=10$。
$ $当$x=9$时，$57-3x=30＞28$，不符合题意，舍去；
$ $当$x=10$时，$57-3x=27≤28$，符合题意。
$ $故自行车车棚的长为$27\ \mathrm {m}$，宽为$10\ \mathrm {m}$。
$ (2) $不能围成面积为$300\ \mathrm {m^2}$的车棚，理由如下：
假设能围成，设车棚的宽为$y\ \mathrm {m}$，则长为$(57-3y)\ \mathrm {m}$。
$ $由题意得$y(57-3y)=300$，
$ $整理得$y^2-19y+100=0$，
$ $判别式$∆=(-19)^2-4×1×100=-39＜0$，
该一元二次方程无实数根，
故不能围成面积为$300\ \mathrm {m^2}$的车棚。
