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解:
(1) 列车的速度 $v=\frac{s_{\mathrm{桥}}}{t}=\frac{7200\ \mathrm{m}}{180\ \mathrm{s}}=40\ \mathrm{m/s}$
(2) 列车全部通过大桥行驶的路程 $s=vt'=40\ \mathrm{m/s}×185\ \mathrm{s}=7400\ \mathrm{m},$
列车总长度 $s_{\mathrm{车}}=s-s_{\mathrm{桥}}=7400\ \mathrm{m}-7200\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{m}$
(3) 列车全部在桥上运动的时间 $t_1=\frac{s_{\mathrm{桥}}-s_{\mathrm{车}}}{v}=\frac{7200\ \mathrm{m}-200\ \mathrm{m}}{40\ \mathrm{m/s}}=175\ \mathrm{s}$
解:若车刚过线时人刚好到达B点,由$v=\frac{s}{t}$得:
客车穿过B点所用时间
$t=\frac{s_1}{v_{\mathrm{车}}}=\frac{60\ \mathrm{m}+10\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{m/s}}=7\ \mathrm{s}$
小王运动的速度
$v_{\mathrm{人}}=\frac{s_2}{t}=\frac{8\ \mathrm{m}}{7\ \mathrm{s}}\approx1.14\ \mathrm{m/s}$
客车到达B点所用时间
$t'=\frac{s_1'}{v_{\mathrm{车}}}=\frac{60\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{m/s}}=6\ \mathrm{s}$
人要安全过马路至少通过的路程
$s_2'=8\ \mathrm{m}+2.2\ \mathrm{m}=10.2\ \mathrm{m}$
此时小王运动的速度
$v_{\mathrm{人}}'=\frac{s_2'}{t'}=\frac{10.2\ \mathrm{m}}{6\ \mathrm{s}}=1.7\ \mathrm{m/s}$
小王同学能安全过马路的速度范围为$v>1.7\ \mathrm{m/s}$或$v<1.14\ \mathrm{m/s}$
解:
(1) 由 $ v=\frac{s}{t} $ 可得,小明通过的路程 $ s_1=v_1(t_0+t) ,$小明父亲通过的路程 $ s_2=v_2t ,$两者通过的路程相等,即 $ v_1(t_0+t)=v_2t ,$代入数据得 $ 5\ \mathrm{km/h} × (5 × \frac{1}{60}\ \mathrm{h} + t) = 10\ \mathrm{km/h} × t ,$解得 $ t=\frac{1}{12}\ \mathrm{h}=5\ \mathrm{min} 。$
(2) 由 $ v=\frac{s}{t} $ 可得,小明出发5 min通过的路程 $ s=v_1t_0=5\ \mathrm{km/h} × 5 × \frac{1}{60}\ \mathrm{h}=\frac{5}{12}\ \mathrm{km} ;$
小明和他父亲相向而行时的速度和 $ v=v_1+v_2=5\ \mathrm{km/h}+10\ \mathrm{km/h}=15\ \mathrm{km/h} ;$
由 $ v=\frac{s}{t} $ 可得,小明和他父亲相向而行时相遇的时间 $ t'=\frac{s}{v}=\frac{\frac{5}{12}\ \mathrm{km}}{15\ \mathrm{km/h}}=\frac{1}{36}\ \mathrm{h} ;$
小明父亲通过的路程 $ s_2'=v_2t'=10\ \mathrm{km/h} × \frac{1}{36}\ \mathrm{h}=\frac{5}{18}\ \mathrm{km} ;$
小明与父亲在途中相遇时离学校的距离 $ s''=s_{\mathrm{总}}-s_2'=2\ \mathrm{km}-\frac{5}{18}\ \mathrm{km} \approx 1.72\ \mathrm{km} 。$
【分析】
我们先逐个梳理题目中不同场景的物理意义,理清思路:第一,车上的小明尺寸远小于桥长、列车长,可视为质点,他从自己上桥到下桥经过的路程就等于大桥全长,已知该过程的时间,列车做匀速运动,直接用速度公式就能算出列车的速度。第二,列车全部通过大桥,指从车头刚到桥头到车尾刚离开桥尾的全过程,这个过程列车行驶的总路程等于桥长加列车自身长度,已经算出速度、已知该过程的总时间,先求总行驶路程,减去桥长就能得到列车总长度。第三,列车全部在桥上运动,指整个车身都处于桥面上的过程,即从车尾完全进入桥头到车头即将到达桥尾的阶段,该过程行驶的路程等于桥长减去列车自身长度,代入速度公式就能算出对应的运动时间。
【解析】
(1) 小明可视为质点,他上桥到下桥的通过路程等于桥长$s_{\mathrm{桥}}=7200\ \mathrm{m}$,对应时间$t=180\ \mathrm{s}$,列车匀速运动,由速度公式得列车速度:
$v=\frac{s_{\mathrm{桥}}}{t}=\frac{7200\ \mathrm{m}}{180\ \mathrm{s}}=40\ \mathrm{m/s}$
(2) 列车全部通过大桥的总时间$t'=185\ \mathrm{s}$,该过程列车行驶的总路程:
$s=vt'=40\ \mathrm{m/s}×185\ \mathrm{s}=7400\ \mathrm{m}$
列车完全过桥的总路程为桥长加列车长,因此列车总长度:
$s_{\mathrm{车}}=s-s_{\mathrm{桥}}=7400\ \mathrm{m}-7200\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{m}$
(3) 列车全部在桥上时,行驶的路程为桥长减去列车自身长度:
$s_1=s_{\mathrm{桥}}-s_{\mathrm{车}}=7200\ \mathrm{m}-200\ \mathrm{m}=7000\ \mathrm{m}$
由$v=\frac{s}{t}$变形得该过程的运动时间:
$t_1=\frac{s_1}{v}=\frac{7000\ \mathrm{m}}{40\ \mathrm{m/s}}=175\ \mathrm{s}$
【答案】
(1) 列车过桥的速度为$40\ \mathrm{m/s}$;
(2) 该列车的总长度为$200\ \mathrm{m}$;
(3) 列车全部在桥上运动的时间为$175\ \mathrm{s}$。
【知识点】
速度公式应用,列车过桥模型,匀速直线运动
【点评】
本题是初中机械运动模块的经典过桥类计算题,核心易错点是区分三类不同场景的实际行驶路程,很多同学容易混淆“完全过桥”和“完全在桥上”的路程关系,解题时先明确对应场景的路程逻辑,再代入速度公式计算即可,属于基础的运动学综合题。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决小王安全过马路的速度范围问题,首先要明确存在两种完全不同的安全场景:第一种是小王的速度足够快,在客车车头抵达斑马线中点B之前,就已经完全穿过马路、走到客车行驶区域的另一侧,不会被驶来的客车碰到;第二种是小王的速度足够慢,在客车完全驶过斑马线中点B、整辆客车都开过去之后,小王才走到B点附近,此时没有车辆阻挡,也可以安全过马路。我们只需要分别算出两种场景下的临界速度,就能得到安全的速度范围:第一步先算第一种场景的临界值,也就是客车头刚好到B点时,小王刚好走到客车另一侧的速度,大于这个速度就满足第一种安全情况;第二步算第二种场景的临界值,也就是客车尾刚好驶过B点时,小王刚好走到B点的速度,小于这个速度就满足第二种安全情况。
【解析】
我们分两种临界情况进行计算:
情况1:小王在客车到达B点前完全穿过马路
客车车头距离B点的距离为60m,客车速度$v_{\mathrm{车}}=10\ \mathrm{m/s}$,客车车头到达B点所需的时间:
$t' = \frac{s_1'}{v_{\mathrm{车}}} = \frac{60\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{m/s}} = 6\ \mathrm{s}$
要保证此时小王已经完全穿过马路,小王需要走过的总路程为A到B的距离加上客车的宽度,即:
$s_2' = 8\ \mathrm{m} + 2.2\ \mathrm{m} = 10.2\ \mathrm{m}$
对应的临界速度:
$v_{\mathrm{人}}' = \frac{s_2'}{t'} = \frac{10.2\ \mathrm{m}}{6\ \mathrm{s}} = 1.7\ \mathrm{m/s}$
即当小王的速度大于1.7m/s时,他可以在客车抵达B点前完全穿过马路,保证安全。
情况2:小王等客车完全通过B点后再穿过马路
客车从当前位置到车尾完全驶过B点,需要行驶的总路程为60m加上客车自身的长度10m,即:
$s_1 = 60\ \mathrm{m} + 10\ \mathrm{m} =70\ \mathrm{m}$
客车完全驶过B点所需的时间:
$t = \frac{s_1}{v_{\mathrm{车}}} =\frac{70\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{m/s}} =7\ \mathrm{s}$
要保证此时小王还没有走到B点,小王在7s内走过的路程最多为A到B的8m,对应的临界速度:
$v_{\mathrm{人}} = \frac{s_2}{t} =\frac{8\ \mathrm{m}}{7\ \mathrm{s}} \approx1.14\ \mathrm{m/s}$
即当小王的速度小于1.14m/s时,客车完全驶过B点后,小王才走到B点附近,也可以安全过马路。
【答案】
小王同学的速度大于1.7 m/s或小于约1.14 m/s时,能安全过马路
【知识点】
速度公式应用;匀速直线运动;临界问题分析
【点评】
本题是运动学的易错题,多数同学容易遗漏“人慢速等车完全通过后再过马路”的第二种安全场景,出现只得到一个速度阈值的漏解问题,解题时要结合实际场景梳理所有可能的安全情况,同时注意计算路程时不要遗漏客车自身的长度和宽度,避免计算错误。
【难度系数】
0.4
【分析】
这道题是匀速直线运动的追及、相遇类问题,解题思路如下:
1. 第一问是同向追及问题:首先明确等量关系,父亲追上小明时,两人从家出发走的总路程完全相等。小明比父亲早出发5min,所以小明的总运动时间是“提前走的5min + 父亲的追及时间t”,父亲的运动时间就是t,结合速度公式v=s/t分别写出两人的路程表达式,令二者相等,代入数据先算出以小时为单位的t,再换算为分钟即可。
2. 第二问是相向相遇问题:首先先算出小明出发5min后已经走出家的距离,此时小明掉头往家走、父亲往学校方向走,两人相向运动,相对速度是二者速度之和,用两人之间的初始距离除以速度和得到相遇时间,算出父亲从家出发走的路程,用家到学校的总距离2km减去父亲走的路程,就得到相遇点距离学校的距离,最后按要求保留两位小数即可。全程要注意时间单位统一为小时,避免单位不匹配的计算错误。
【解析】
(1) 已知小明速度$v_1=5\ \mathrm{km/h}$,父亲速度$v_2=10\ \mathrm{km/h}$,小明提前出发的时间$t_0=5\ \mathrm{min}=5×\frac{1}{60}\ \mathrm{h}$。
设父亲追上小明的时间为$t$,由$v=\frac{s}{t}$可得:
小明全程的路程:$s_1 = v_1(t_0 + t)$
父亲全程的路程:$s_2 = v_2 t$
追上时两人路程相等,即$s_1=s_2$,代入数据得:
$5\ \mathrm{km/h} × (5×\frac{1}{60}\ \mathrm{h} + t) = 10\ \mathrm{km/h} × t$
展开计算后解得$t=\frac{1}{12}\ \mathrm{h}$,换算为分钟得$t=\frac{1}{12}×60\ \mathrm{min}=5\ \mathrm{min}$。
(2) 首先计算小明出发5min已经走出的路程:
$s = v_1 t_0 = 5\ \mathrm{km/h} × 5×\frac{1}{60}\ \mathrm{h} = \frac{5}{12}\ \mathrm{km}$
此时小明掉头、父亲出发,两人相向而行,相对速度$v = v_1 + v_2 = 5\ \mathrm{km/h} + 10\ \mathrm{km/h} =15\ \mathrm{km/h}$
两人相遇所需时间:$t' = \frac{s}{v} = \frac{\frac{5}{12}\ \mathrm{km}}{15\ \mathrm{km/h}} = \frac{1}{36}\ \mathrm{h}$
这段时间父亲骑行的路程:$s_2' = v_2 t' = 10\ \mathrm{km/h} × \frac{1}{36}\ \mathrm{h} = \frac{5}{18}\ \mathrm{km}$
家到学校总距离$s_{\mathrm{总}}=2\ \mathrm{km}$,所以相遇点距离学校的距离:
$s'' = s_{\mathrm{总}} - s_2' = 2\ \mathrm{km} - \frac{5}{18}\ \mathrm{km} \approx 1.72\ \mathrm{km}$
【答案】
(1) 5 min;(2) 约1.72 km
【知识点】
速度公式计算,追及相遇问题
【点评】
本题是初中机械运动模块的经典基础题型,重点考察对速度公式的灵活应用,解题核心是找准不同场景下的等量关系:追及问题找路程相等,相向相遇问题找相对速度,同时要注意物理量的单位统一,避免因分钟、小时单位混用导致计算错误,适合巩固匀速直线运动的相关计算能力。
【难度系数】
0.6