解：
(1) $\because$ 点$A(2,m)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，
$\therefore m=2×2-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}。$
设直线$AB$对应的函数表达式为$y=kx+b，$
$\because$ 点$A(2,\frac{3}{2})，$$B(0,3)$在直线$AB$上，
$\therefore \begin{cases} 2k+b=\frac{3}{2},\\ b=3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\frac{3}{4},\\ b=3, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$对应的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3。$
(2) $\because$ 点$P(t,y_1)$在线段$AB$上，点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，
$\therefore y_1=-\frac{3}{4}t+3，$$y_2=2(t-1)-\frac{5}{2}=2t-\frac{9}{2}，$且$0 ≤ t ≤ 2，$
$\therefore y_1-y_2=-\frac{3}{4}t+3-(2t-\frac{9}{2})=-\frac{11}{4}t+\frac{15}{2}。$
$\because -\frac{11}{4}＜0，$
$\therefore y_1-y_2$的值随$t$的增大而减小，
又$\because 0 ≤ t ≤ 2，$
$\therefore$ 当$t=0$时，$y_1-y_2$取得最大值，为$\frac{15}{2}。$
