解：
(2) 设点$P$的坐标为$(x,y)。$
根据题意，得$\begin{cases}x+5y=3,\\5x+y=-9,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-2,\\y=1,\end{cases}$
∴ 点$P$的坐标为$(-2,1)。$
(3)
∵ 点$P(a,b)$在$x$轴的正半轴上，
∴ $b=0，$$a＞0，$
∴ 点$P$的坐标为$(a,0)，$此时点$P'$的坐标为$(a,ka)，$
∴ $PP'=|ka|，$$OP=a。$
根据题意，得$|PP'|=2|OP|，$即$|ka|=2a。$
∵ $a＞0，$
∴ $|k|=2，$
∴ $k$的值为$\pm2。$
解：
满足条件的点$P$的坐标为$(5,0)，$$(8,0)，$$(0,5)，$$(0,6)，$$(-5,0)，$$(0,-5)，$$(0,\frac{25}{6})，$$(\frac{25}{8},0)。$
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