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$\frac{5}{2}$

证明：

∵$a^2=(\mathrm {m^2}-n^2)^2=m^4-2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4$，

$b^2=(2mn)^2=4\ \mathrm {m^2}n^2$，

$c^2=(\mathrm {m^2}+n^2)^2=m^4+2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4$，

∴$a^2+b^2=m^4+2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4=c^2$，

∴$△ ABC$是直角三角形。

解：

解法一：

∵$AD$为$△ ABC$的中线，$BC=10$，

∴$BD=CD=5$。

∵$AC=13$，$AD=12$，

∴$AD^2+CD^2=12^2+5^2=169$，$AC^2=13^2=169$，

∴$AD^2+CD^2=AC^2$，

∴$∠ ADC=90°$。

∵$∠ ADC+∠ ADB=180°$，

∴$∠ ADB=90°$。

∴在$Rt△ ADB$中，

$AD^2+BD^2=AB^2$，

即$12^2+5^2=AB^2$，

∴$AB^2=169$，

∴$AB=13$，

∴$△ ABD$的周长为$5+12+13=30$。

解法二：

同解法一，得$∠ ADC=90°$。

∴$AD$垂直平分$BC$，

∴$AB=AC=13$，

∴$△ ABD$的周长为$5+12+13=30$。