解：
(1) 因为点$P$在$x$轴上，所以点$P$的纵坐标为$0，$即$m-1=0，$
解得$m=1。$
(2) 由题意可知，点$P$到$x$轴的距离为$|m-1|，$到$y$轴的距离为$|4-m|，$
根据条件可得$|m-1|=3|4-m|。$
① 当$m-1=3(4-m)$时，
$m-1=12-3m，$
$4m=13，$
解得$m=\frac{13}{4}，$
此时$4-m=\frac{3}{4}，$$m-1=\frac{9}{4}，$点$P$的坐标为$(\frac{3}{4},\frac{9}{4})；$
② 当$m-1=-3(4-m)$时，
$m-1=-12+3m，$
$-2m=-11，$
解得$m=\frac{11}{2}，$
此时$4-m=-\frac{3}{2}，$$m-1=\frac{9}{2}，$点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{9}{2})。$
综上，点$P$的坐标为$(\frac{3}{4},\frac{9}{4})$或$(-\frac{3}{2},\frac{9}{2})。$
