证明：$(1) $∵$AB=AC$，∴$∠ B=∠ C$。
∵$OB=OD$，
∴$∠ B=∠ ODB$，
∴$∠ ODB=∠ C$，
∴$OD// AC$，∴$∠ AEO=∠ DOE$。
∵以点$O$为圆心的半圆与$AC$相切于点$E$，
∴$OE⊥ AC$，∴$∠ AEO=90°$，
∴$∠ DOE=90°$，∴$OD⊥ OE$。
解：$(2) $∵$OB=\sqrt {3}$，∴$OE=OD=OB=\sqrt {3}$。
∵$AB=AC$，$AB=BC$，∴$AB=AC=BC$，
∴$△ ABC$为等边三角形，∴$∠ A=60°$，
∴在$Rt△ AEO$中，$∠ AOE=30°$，∴$OA=2AE$。
∵$OE^2+AE^2=OA^2$，
∴$(\sqrt {3})^2+AE^2=(2AE)^2$，解得$AE=1$，
∴$OA=2$，∴$AC=AB=OA+OB=2+\sqrt {3}$，
∴$EC=AC-AE=2+\sqrt {3}-1=1+\sqrt {3}$，
∴$S_{四边形ODCE}=\frac {1}{2}(EC+OD)· OE=\frac {1}{2}×(1+\sqrt {3}+\sqrt {3})×\sqrt {3}=3+\frac {\sqrt {3}}{2}$。
