解：连接OB。
$\because$ AC是$\odot O$的直径，弦$BD⊥ AO$于点E，$BD=8\ \mathrm{cm}，$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}。$
设$\odot O$的半径为$x\ \mathrm{cm}，$则$OB=OA=x\ \mathrm{cm}，$$OE=(x-2)\ \mathrm{cm}。$
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中，由勾股定理，得$OE^2+BE^2=OB^2，$
即$(x-2)^2+4^2=x^2，$解得$x=5。$
$\therefore \odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}，$
$\therefore EC=2×5-2=8(\mathrm{cm})，$
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})。$
$\because OF⊥ BC，$$OF$过圆心，
$\therefore CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}，$
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中，$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})。$
