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$30°$

 证明：

 (1) 连接$OC。$

 $\because C$是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}，$$\therefore ∠ COD=∠ COE。$

 $\because OA=OB，$$AD=BE，$$\therefore OD=OE。$

 又$\because OC=OC，$$\therefore △ COD ≌ △ COE，$$\therefore CD=CE。$

 (2) 连接$OM，$$ON。$

 $\because △ COD ≌ △ COE，$$\therefore ∠ CDO=∠ CEO，$$∠ OCD=∠ OCE。$

 $\because OC=OM=ON，$$\therefore ∠ OCM=∠ M，$$∠ OCN=∠ N，$$\therefore ∠ M=∠ N。$

 $\because ∠ CDO=∠ M + ∠ MOD，$$∠ CEO=∠ N + ∠ NOE，$

 $\therefore ∠ MOD=∠ NOE，$$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}。$

 解：

 (1) $BE=CE，$理由如下：

 $\because ∠ BOE=∠ AOD，$$\therefore \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AD}。$

 又$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}，$$\therefore \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}，$$\therefore BE=CE。$

 (2) 四边形$OACE$是菱形，理由如下：

 连接$OC。$

 $\because BE=CE，$$\therefore ∠ BOE=∠ COE=60°。$

 又$\because OE=OC，$$\therefore △ OCE$为等边三角形，$\therefore CE=OE。$

 $\because ∠ BOE + ∠ COE + ∠ AOC=180°，$$\therefore ∠ AOC=∠ COE=60°，$

 $\therefore AC=CE，$$\therefore OE=CE=AC=OA，$

 $\therefore$ 四边形$OACE$是菱形。