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第33页

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 解：$\because \frac{n}{m}=\frac{m}{m+n}，$

 $\therefore n(m+n)=m^2，$

 整理得$n^2 + mn - m^2 = 0。$

 $\because m＞0，$

 $\therefore$ 等式两边同时除以$m^2，$得$(\frac{n}{m})^2 + \frac{n}{m} - 1 = 0，$

 此时判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5，$

 解得$\frac{n}{m}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}，$

 $\because m＞n＞0，$$\frac{n}{m}＞0，$舍去负值，

 $\therefore \frac{n}{m}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}，$即$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618。$

 解：B是线段AC的黄金分割点，理由如下：

 设$CD=t\ (t＞0)，$由画图可知$DE=CD=t。$

 $\because CD=\frac{1}{2}AC，$

 $\therefore AC=2CD=2t。$

 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：

 $AD=\sqrt{AC^2 + CD^2}=\sqrt{(2t)^2 + t^2}=\sqrt{5}t，$

 $\therefore AE=AD-DE=(\sqrt{5}-1)t。$

 由画图可知$AB=AE=(\sqrt{5}-1)t，$

 $\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，$

 $\therefore B$是线段AC的黄金分割点。

 证明：连接GF。

 $\because$ 正方形ABCD的边长为1，EF为对折得到的折痕，

 $\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}，$$∠ C=∠ A=∠ D=90°。$

 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，由勾股定理得：

 $BF=\sqrt{BC^2 + CF^2}=\sqrt{1^2 + (\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}。$

 $\because BG$是折痕，

 $\therefore AG=A'G，$$A'B=AB=1，$$∠ A=∠ GA'B=∠ GA'F=90°，$

 $\therefore A'F=BF - A'B=\frac{\sqrt{5}}{2} - 1。$

 设$AG=A'G=a，$则$DG=1-a。$

 在$\mathrm{Rt}△ GA'F$中，$A'F^2 + A'G^2 = FG^2；$

 在$\mathrm{Rt}△ DGF$中，$DF^2 + DG^2 = FG^2，$

 $\therefore A'F^2 + A'G^2 = DF^2 + DG^2，$

 即$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2 + a^2 = (\frac{1}{2})^2 + (1-a)^2，$

 解得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，$

 $\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，$

 $\therefore G$为线段AD的黄金分割点$(AG＞GD)。$