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第23页

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 解：

 根据题意，得 $\Delta=(-2)^2 -4(p-1)≥0，$且 $a+b=2，$$ab=p-1≥0，$

 解得 $1≤ p≤2。$

 ∵ $(a-1)(b-1)=ab -(a+b)+1 = p-1 -2 +1 = p-2，$

 ∴ 当$p=1$时，$(a-1)(b-1)$取得最小值，最小值为$1-2=-1；$

 当$p=2$时，$(a-1)(b-1)$取得最大值，最大值为$2-2=0。$

 解：

 (1) 根据题意，得 $\Delta=(-2)^2 -4(m-2)≥0，$

 解得 $m≤3。$

 (2) 根据韦达定理，得 $x_1+x_2=2，$$x_1x_2=m-2，$

 ∴ $3x_1+3x_2 -x_1x_2 = 3(x_1+x_2) -x_1x_2 = 6 -(m-2) = -m +8。$

 ∵ $m≤3，$

 ∴ 当$m=3$时，$3x_1+3x_2 -x_1x_2$取得最小值，

最小值为$-3+8=5。$

 解：

 (1) 证明：在方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，

$a=1，$$b=-(m+2)，$$c=m-1，$

 ∴ $\Delta=[-(m+2)]^2 -4×1×(m-1) = m^2+4m+4 -4m +4 = m^2+8。$

 ∵ $m^2≥0，$

 ∴ $m^2+8＞0，$即$\Delta＞0，$

 ∴ 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。

(2)

 ∵ 方程的两个实数根为$x_1,x_2，$

 ∴ $x_1+x_2=m+2，$$x_1x_2=m-1。$

 ∵ $x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=9，$即$(x_1+x_2)^2 -3x_1x_2=9，$

 代入得 $(m+2)^2 -3(m-1)=9，$

 整理得 $m^2+m-2=0，$

 即$(m+2)(m-1)=0，$解得$m_1=-2，$$m_2=1，$

 ∴ $m$的值为$-2$或$1。$

 解：

 (1) 证明：① 当$k-1=0，$即$k=1$时，方程为一元一次方程

$2x+2=0，$解得$x=-1，$此时方程有一个实数根。

 ② 当$k-1≠0，$即$k≠1$时，方程为一元二次方程，

 $\Delta=(2k)^2 -4×2(k-1)=4k^2-8k+8=4(k-1)^2+4，$

 ∵ $(k-1)^2≥0，$

 ∴ $4(k-1)^2+4＞0，$此时方程有两个不相等的实数根。

 综上所述，无论$k$为何值，方程总有实数根。

 (2) $S$的值能为1，理由如下：

 ∵ $x_1,x_2$是方程$(k-1)x^2+2kx+2=0$的两个实数根，

 ∴ $x_1+x_2=\frac{-2k}{k-1}，$$x_1x_2=\frac{2}{k-1}。$

 令$S=x_1x_2 -x_1 -x_2 =x_1x_2 -(x_1+x_2)=1，$

 代入得 $\frac{2}{k-1} + \frac{2k}{k-1}=1，$

 整理得 $2+2k=k-1，$解得$k=-3。$

 经检验，$k=-3$是分式方程的解，且符合题意，

 ∴ 当$S=1$时，$k$的值为$-3。$