解：$ (1)$∵方程有两个实数根，
∴$ ∆=[-(2k+1)]^2-4(k^2+2k)=1-4k≥0$，
$ $解得$k≤\frac {1}{4}$。
$ (2) $不存在。理由如下：
$ $假设存在实数$k$，使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。
∵$ x_1，x_2$是原方程的两个实数根，
∴$ x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+2k$。
∵$ x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$，即$x_1x_2 -x_1^2 -x_2^2≥0$，
$ $整理得$3x_1x_2-(x_1+x_2)^2≥0$，
$ $代入得$3(k^2+2k)-(2k+1)^2≥0$，
$ $整理得$(k-1)^2≤0$，
∴$ k=1$。
$ $由$(1)$知$k≤\frac {1}{4}$，
∴$ $不存在实数$k$，使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。
