解：$(1) $设一次函数的解析式为$y=kx+b$，
将点$(1，-1)$，$(2，1)$代入得：
$ \begin {cases}\ \mathrm {k}+b=-1 \\2k+b=1 \end {cases}$
$ $解得$\begin {cases}\ \mathrm {k}=2 \\b=-3 \end {cases}$
$ $所以一次函数的解析式为$y=2x-3$。
$ $令$y=0$，得$2x-3=0$，解得$x=\frac {3}{2}$，
所以$A(\frac {3}{2}，0)$；
$ $令$x=0$，得$y=-3$，所以$B(0，-3)$。
$ $所以$OA=\frac {3}{2}$，$OB=3$，
$ S_{△ AOB} = \frac {1}{2} × \frac {3}{2} × 3 = \frac {9}{4}$。
$ (2) $将一次函数$y=2x-3$的图象向上平移$a(a＞0)$个单位长度后，
得到的解析式为$y=2x-3+a$，
$ $把点$(-2，-3)$代入得：$-3 = 2×(-2) -3 +a$，
$ $解得$a=4$。
