证明：$ (1) $∵$CD$的垂直平分线交$AD$于点$F$，
∴$FC=FD$，
∴$∠FCD=∠D=45°$，
∴$∠CFD=180°-45°-45°=90°$。
∵$AD//BC$，$∠A=90°$，
∴$∠B=∠A=90°$，
∴四边形$ABCF $是矩形，
又∵$AB=BC$，
∴矩形$ABCF $是正方形。
$ (2) $由$(1)$得$AF=BC$，
∵$FC=FD$，$AD=AF+FD=a$，
又∵$AD//BC$，
∴$∠M=∠D$，
$ $在$△MCE$和$△FDE$中，
$\begin{cases} ∠M=∠D \\ ∠MEC=∠DEF \\ CE=DE \end{cases}$
∴$△MCE≌△FDE(\mathrm {AAS})$，
∴$CM=FD$，
∴$BM=BC+CM=AF+FD=AD=a$，
$ $即$BM=a$。
