证明： ∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$BC=CD$，$∠B=∠CDN=90°$，$AB=AD$。
∵$M$，$N$分别是$AB$，$AD$的中点，
∴$BM=\frac {1}{2}AB$，$DN=\frac {1}{2}AD$，
∴$BM=DN$。
$ $在$△CBM$和$△CDN$中，
$ \begin {cases}\ \mathrm {BM}=DN \\∠B=∠CDN \\BC=DC \end {cases}$
∴$△CBM≌△CDN(\mathrm {SAS})$，
∴$CM=CN$。
