解：
$ (1)$∵$BE$平分$∠ ABC，$$∠ ABC=40°，$
∴$∠ ABP=\frac {1}{2}∠ ABC=\frac {1}{2}×40°=20°.$
∵$CP// AB，$
∴$∠ BPC=∠ ABP=20°.$
$ (2)$设$AC$与$BP_{交点为}O.$
∵$BE$平分$∠ ABC，$
∴$∠ ABP=∠ CBP.$
∵$∠ PBC=∠ PCA，$
∴$∠ ABP=∠ PCA.$
$ $在$△ ABO$和$△ CPO$中，$∠ A+∠ ABP+∠ AOB=180°，$
$ ∠ BPC+∠ PCA+∠ POC=180°，$
∵$∠ AOB=∠ POC，$
$∠ ABP=∠ PCA，$
∴$∠ BPC=∠ A=100°.$
$ (3)$∵$∠ ABC=40°，$$BP $平分$∠ ABC，$
∴$∠ PBC=\frac {1}{2}∠ ABC=20°.$
$ ①$当$CP⊥ BC$时，如答图①，则$∠ BCP=90°.$
∵$∠ PBC=20°，$
∴$∠ BPC=70°.$
$ ②$当$CP⊥ AC$时，如答图②，则$∠ ACP=90°，$
$ $在$△ BPC$中，$∠ BPC=180°-20°-30°-90°=40°.$
$ ③$当$CP⊥ AB$时，设直线$CP $与$BA$的延长线交于点$G，$
如答图③，则$∠ BGC=90°.$
∵$∠ ABC=40°，$
∴$∠ BCG=50°.$
$ $在$△ BPC$中，$∠ BPC=180°-50°-20°=110°.$
综上所述，$∠ BPC$的度数为$70°$或$40°$或$110°.$
