解：
$ (1) $∵$∠ ABC+∠ ACB+∠ A=180°，$
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A.$
∵$BP，CP $分别平分$∠ ABC，∠ ACB，$
∴$∠ PBC=\frac {1}{2}∠ ABC，$
$∠ PCB=\frac {1}{2}∠ ACB，$
∴$∠ PBC+∠ PCB$
$=\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=\frac {1}{2}(180°-∠ A)$
$=90°-\frac {1}{2}∠ A.$
∵$∠ BPC+∠ PBC+∠ PCB=180°，$
∴$∠ BPC$
$=180°-(∠ PBC+∠ PCB)$
$=180°-(90°-\frac {1}{2}∠ A)$
$=90°+\frac {1}{2}∠ A.$
∵$∠ A=30°，$
∴$∠ BPC=90°+\frac {1}{2}∠ A=90°+\frac {1}{2}×30°=105°.$
$ (2) ∠ BPC+∠ Q=180°.$证明如下：
∵$BP $平分$∠ ABC，BQ $平分$∠ MBC，$
∴$∠ PBC=\frac {1}{2}∠ ABC，$
$∠ QBC=\frac {1}{2}∠ MBC，$
∴$∠ PBC+∠ QBC=\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ MBC)，$
$ $即$∠ PBQ=\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ MBC).$
∵$∠ ABC+∠ MBC=180°，$
∴$∠ PBQ=90°，$
$ $同理$∠ PCQ=90°.$
$ $根据四边形的内角和等于$360°，$
得$∠ PBQ+∠ PCQ+∠ BPC+∠ Q=360°，$
∴$∠ BPC+∠ Q=180°.$
$ (3) $由$(1)$可知$∠ BPC=90°+\frac {1}{2}∠ A，$
由$(2)$可知$∠ BPC+∠ Q=180°，$
∴$∠ Q=180°-∠ BPC$
$=180°-(90°+\frac {1}{2}∠ A)$
$=90°-\frac {1}{2}∠ A.$
∵$∠ PBQ=90°，$
∴$∠ E=90°-∠ Q$
$=90°-(90°-\frac {1}{2}∠ A)$
$=\frac {1}{2}∠ A.$
$ $在$△ BQE$中$，∠ EBQ=90°，$
$∠ E=\frac {1}{2}∠ A，$
$∠ Q=90°-\frac {1}{2}∠ A，$
$ $如果存在一个内角等于另一个内角的$3$倍$，$有以下四种情况：
$ ①$当$∠ EBQ=3∠ E$时$，90°=3×\frac {1}{2}∠ A，$
∴$∠ A=60°；$
$ ②$当$∠ EBQ=3∠ Q $时$，90°=3×(90°-\frac {1}{2}∠ A)，$
∴$∠ A=120°；$
$ ③$当$∠ Q=3∠ E$时$，90°-\frac {1}{2}∠ A=3×\frac {1}{2}∠ A，$
∴$∠ A=45°；$
$ ④$当$∠ E=3∠ Q $时$，\frac {1}{2}∠ A=3×(90°-\frac {1}{2}∠ A)，$
∴$∠ A=135°.$
$ $综上所述$，∠ A$的度数是$60°$或$120°$或$45°$或$135°.$
