解：
$ (1)$解方程组，得$\begin {cases}x = -4 - 2a\\y = 3 - a\end {cases}$
$ $因为$x$是负数，$y$是非负数，
$ $所以$\begin {cases}-4 - 2a ＜ 0\\3 - a≥0\end {cases}$
$ $所以$-2 ＜ a≤3，$
$ $即$a$的取值范围是$-2 ＜ a≤3。$
$ (2)$因为$-2 ＜ a≤3，$
$ $所以当$-2 ＜ a ＜ -1$时，
$|a + 1|+|a - 3|=-a - 1 + 3 - a=2 - 2a；$
$ $当$-1≤ a≤3$时，
$|a + 1|+|a - 3|=a + 1 + 3 - a=4。$
$ (3)$因为$|a + 1|+|a - 3|=5，$
$ $由$(2)$可知当$-2 ＜ a ＜ -1$时，
$ |a + 1|+|a - 3|=2 - 2a=5，$
$ $解得$a=-\frac {3}{2}，$即$a$的值为$-\frac {3}{2}。$
